辽宁省沈阳市2022年中考数学真题

试卷更新日期：2022-08-04 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $5 + (- 3)$ 正确的是（）

A、2 B、-2 $- 2$ C、8 D、-8

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2. 如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算结果正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a b^{4})}^{2} = a b^{8}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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4. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 3)$ 关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(- 3 ， - 2)$

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5. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
年龄/岁
11
12
13
14
15
人数
3
4
7
2
2
则该足球队队员年龄的众数是（）

A、15岁 B、14岁 C、13岁 D、7人

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6. 不等式 $2 x + 1 > 3$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则 $∠ C E D$ 度数是（）

A、70° B、60° C、30° D、20°

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8. 在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+1的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列说法正确的是（）

A、了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B、如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖 C、若甲、乙两组数据的平均数相同， $S_{甲}^{2} = 2.5$ ， $S_{乙}^{2} = 8.7$ ，则乙组数据较稳定 D、“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件

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10. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米， $∠ P Q T = α$ ，则河宽PT的长度是（）

A、 $m s i n α$ B、 $m c o s α$ C、 $m t a n α$ D、 $\frac{m}{t a n α}$

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二、填空题

11. 分解因式： $a y^{2} + 6 a y + 9 a =$ ．

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12. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 \\ y = 2 x \end{array}$ 的解是．

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13. 化简： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} =$ ．

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14. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于 $⊙ O$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是（结果保留 $π$ ）

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15. 如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则 $k =$ ．

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16. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H． $E N = 2$ ， $A B = 4$ ，当点H为GN三等分点时，MD的长为．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{12} - 3 t a n 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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18. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．

(1)、随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是；

(2)、小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是 $△ A B C$ 的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．

(1)、由作图可知，直线MN是线段AD的．

(2)、求证：四边形AEDF是菱形．

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20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、此次被调查的学生人数为名；

(2)、直接在答题卡中补全条形统计图；

(3)、求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

(4)、根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

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21. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)、若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

(2)、矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A D$ 是圆 $O$ 的直径， $A D$ ， $B C$ 的延长线交于点 $E$ ，延长 $C B$ 交 $P A$ 于点 $P$ ， $∠ B A P + ∠ D C E = 90 °$ ．

(1)、求证： $P A$ 是圆 $O$ 的切线；

(2)、连接 $A C$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $B C = 2$ ， $A D$ 的长为．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 $B (0 ， 9)$ ，与直线OC交于点 $C (8 ， 3)$ ．

(1)、求直线AB的函数表达式；

(2)、过点C作 $C D ⊥ x$ 轴于点D，将 $△ A C D$ 沿射线CB平移得到的三角形记为 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ ，点A，C，D的对应点分别为 $A^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，若 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ 与 $△ B O C$ 重叠部分的面积为S，平移的距离 $C C^{'} = m$ ，当点 $A^{'}$ 与点B重合时停止运动．
①若直线 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 交直线OC于点E，则线段 $C^{'} E$ 的长为（用含有m的代数式表示）；
②当 $0 < m < \frac{10}{3}$ 时，S与m的关系式为；
③当 $S = \frac{24}{5}$ 时，m的值为．

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24. 如图

(1)、如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为；

(2)、如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕点O顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3)、如图，若 $A B = 8$ ，点C是线段AB外一动点， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值 ▲ ；
②若以BC为斜边作 $R t △ B C D$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $∠ C D B = 90 °$ ，连接AD，当 $∠ C B D = ∠ D A B = 30 °$ 时，直接写出AD的值．

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25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过点 $B (6 ， 0)$ 和点 $D (4 ， - 3)$ 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

(1)、①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．

(2)、点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， $△ B D F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ D E F$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = 2 S_{2}$ 时，求点E的坐标；

(3)、点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为 $C_{1}$ ，点C的对应点 $C^{'}$ ，点G的对应点 $G^{'}$ ，将曲线 $C_{1}$ ，沿y轴向下平移n个单位长度（ $0 < n < 6$ ）．曲线 $C_{1}$ 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 $C^{'} G^{'} Q P$ 是平行四边形，直接写出P的坐标．

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年龄/岁	11	12	13	14	15
人数	3	4	7	2	2