甘肃省兰州市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-08-04 类型：中考真卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 计算 $\sqrt{4}$ 的结果是（）

A、±2 B、2 C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
2. 如图，直线 $a ∥ b$ ，直线c与直线a，b分别相交于点A，B， $A C ⊥ b$ ，垂足为C．若 $∠ 1 = 52 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、52° B、45° C、38° D、26°

查看试题解析
3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 计算： ${(x + 2 y)}^{2} =$ （）

A、 $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$ B、 $x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}$ C、 $x^{2} + 4 x y + 2 y^{2}$ D、 $x^{2} + 4 x^{2}$

查看试题解析
5. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，CD是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ B =$ （）

A、70° B、60° C、50° D、40°

查看试题解析
6. 若一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象经过点 $(- 3 ， y_{1})$ ， $(4 ， y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} \leq y_{2}$ D、 $y_{1} \geq y_{2}$

查看试题解析
7. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

查看试题解析
8. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ， $\frac{A B}{D E} = \frac{1}{2}$ ，若 $B C = 2$ ，则 $E F =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、16

查看试题解析
9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $O E =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
11. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

查看试题解析
12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 $∠ O = 120 °$ 形成的扇面，若 $O A = 3 m$ ， $O B = 1.5 m$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $4.25 π m^{2}$ B、 $3.25 π m^{2}$ C、 $3 π m^{2}$ D、 $2.25 π m^{2}$

查看试题解析

二、填空题

13. 因式分解： $a^{2} - 16 =$ ．

查看试题解析
14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．

查看试题解析
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 $△ C D E$ 沿DE翻折得到 $△ F D E$ ，点F落在AE上．若 $C E = 3 cm$ ， $A F = 2 E F$ ，则 $A B =$ cm．

查看试题解析

16. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

幼树移植数（棵）	100	1000	5000	8000	10000	15000	20000
幼树移植成活数（棵）	87	893	4485	7224	8983	13443	18044
幼树移植成活的频率	0.870	0.893	0.897	0.903	0.898	0.896	0.902

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是．（结果精确到0.1）

查看试题解析

三、解答题

17. 解不等式： $2 (x - 3) < 8$ ．

查看试题解析
18. 计算： $(1 + \frac{1}{x}) \div \frac{(x^{2} + x)}{x}$ ．

查看试题解析
19. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $A B = A E$ ， $A C = A D$ ， $∠ B A D = ∠ E A C$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ D$ 的大小．

查看试题解析
20. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 $∠ A D C = 31 °$ ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 $∠ A F C = 42 °$ ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， $A B ⊥ B E$ ， $A C ⊥ C D$ ， $C D = B E$ ， $B C = D E$ ．结果精确到0.1m）（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 42 ° \approx 0.67$ ， $\cos 42 ° \approx 0.74$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90$ ）

查看试题解析
21. 人口问题是“国之大者”．以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成6组： $0 \leq x < 20$ ， $20 \leq x < 40$ ， $40 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 100$ ， $100 \leq x \leq 120$ ）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 $40 \leq x < 60$ 这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；

信息三：2010——2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为百万人．

(2)、下列结论正确的是．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．

(3)、请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

查看试题解析
22. 综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．

(1)、问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C$ ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）

(3)、拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 $⊙ O$ 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： ▲ ．

查看试题解析

23. 如图，在

Rt △ A B C

中，

∠ A C B = 90 °

，

A C = 3 cm

，

B C = 4 cm

，M为AB边上一动点，

B N ⊥ C M

，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（

0 \leq x \leq 5

），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

(1)、列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：

x/cm	0	0.5	1	1.5	1.8	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5
y/cm	4	3.96	3.79	3.47	a	2.99	2.40	1.79	1.23	0.74	0.33	0

请你通过计算，补全表格： $a =$ ；

(2)、描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点

(x ， y)

，并画出函数y关于x的图像；

(3)、探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：．

(4)、解决问题：当

B N = 2 A M

时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）

查看试题解析

24. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 $\frac{5}{3} m$ ，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

查看试题解析
25. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B (3 ， 0)$ ，过 $C (5 ， 0)$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，交过B点的一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， $S_{△ A O B} = 3$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 和一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的表达式：

(2)、求DE的长．

查看试题解析
26. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，AB是直径， $O D ⊥ O C$ ，连接AD， $∠ A D O = ∠ B O C$ ，AC与OD相交于点E．

(1)、求证：AD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ O A C = \frac{1}{2}$ ， $A D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

查看试题解析
27. 在平面直角坐标系中， $P (a ， b)$ 是第一象限内一点，给出如下定义： $k_{1} = \frac{a}{b}$ 和 $k_{2} = \frac{b}{a}$ 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．

(1)、求点 $P (6 ， 2)$ 的“倾斜系数”k的值；

(2)、①若点 $P (a ， b)$ 的“倾斜系数” $k = 2$ ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 $P (a ， b)$ 的“倾斜系数” $k = 2$ ，且 $a + b = 3$ ，求OP的长；

(3)、如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： $y = x$ 运动， $P (a ， b)$ 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” $k < \sqrt{3}$ ，请直接写出a的取值范围．

查看试题解析
28. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ，EP与正方形的外角 $△ D C G$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)、【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)、【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接CP，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B = 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．

查看试题解析