湖北省武汉市新高考联合体2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{b} = (3 ， λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z_{1} = - 3 + 2 i ， z_{2} = 1 - 4 i$ ，则复数 $z = z_{1} + z_{2}$ 在复平面内表示的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，用基底 ${\vec{a} ， \vec{b}}$ 表示 $\vec{c}$ ，则（）

A、 $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ B、 $\vec{c} = - 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ C、 $\vec{c} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ D、 $\vec{c} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

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4. 下列各组几何体中全是多面体的一组是（　　）

A、三棱柱四棱台球圆锥 B、三棱柱四棱台正方体圆台 C、三棱柱四棱台正方体六棱锥 D、圆锥圆台球半球

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知D为BC上一点，且满足 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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6. 已知m、n是两条不同直线， $α 、 β$ 是两个不同平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α ∩ β = n$ ， $m / / n$ ，则 $m / / α$ 且 $m / / β$ C、若 $α / / β$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 3$ ，则 $c$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、3

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{7}{3}]$ B、 $[1 ， \frac{7}{3}]$ C、[1，3] D、 $(0 ， 3]$

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二、多选题

9. 一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（）

A、三棱锥 B、四棱台 C、六棱锥 D、六面体

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10. 一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计时，则（）

A、点P第一次到达最高点需要10秒 B、当水轮转动35秒时，点P距离水面2米 C、当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D、点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 $h = 4 s i n (\frac{π}{30} t + \frac{π}{6}) + 2$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a ､ b ､ c$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $s i n (B + C) = s i n A$ B、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ C、若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 D、若 $b = 3 ， A = 6 0^{∘}$ ，三角形面积 $S = 3 \sqrt{3}$ ，则三角形的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点.则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、点C与点G到平面AEF的距离相等

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三、填空题

13. $\frac{1 + i}{2 - i} =$ .

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14. 如图，在三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，D，E，F分别为 $A B$ ， $A C$ ， $A A_{1}$ 的中点，设三棱锥 $F - A D E$ 体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} ： V_{2} =$

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15. 一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西 $45 °$ 方向上，另一灯塔在南偏西 $60 °$ 方向上，则该船的速度是海里/小时.

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16. 已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，侧面积是6π，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ .

(1)、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + t \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数t的值.

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18. 观察以下等式：
① $s i n^{2} 75 ° + c o s^{2} 75 ° - s i n 75 ° c o s 75 °$
② $s i n^{2} 60 ° + c o s^{2} 90 ° - s i n 60 ° c o s 90 °$
③ $s i n^{2} 30 ° + c o s^{2} 120 ° - s i n 30 ° c o s 120 °$
④ $s i n^{2} 45 ° + c o s^{2} 105 ° - s i n 45 ° c o s 105 °$
⑤ $s i n^{2} (- 15 °) + c o s^{2} 16 5^{∘} - s i n (- 15 °) c o s 165 °$

(1)、对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；

(2)、根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

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19. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $A_{1} M B$ ；

(2)、点 $P$ 是直线 $A C_{1}$ 上的一点，当 $A C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成的角的正切值为2时，求三棱锥 $P - A_{1} M B$ 的体积．

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20. 在△ABC中， $(a + b + c) (b + c - a) = 3 b c$ ，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．

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21. 如图， $A B$ 是半球的直径， $O$ 为球心， $A B = 4 ， M ， N$ 依次是半圆 $\overset{⌢}{A B}$ 上的两个三等分点， $P$ 是半球面上一点，且 $P N ⊥ M B$ ，

(1)、证明：平面 $P B M ⊥$ 平面 $P O N$ ；

(2)、若点 $P$ 在底面圆内的射影恰在 $B M$ 上，求二面角 $A - P B - N$ 的余弦值．

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22. 锐角 $△ A B C$ 的三个内角是 $A ､ B ､ C$ ，满足 $(s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A) t a n A = s i n B s i n C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小及角 $B$ 的取值范围；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，且 $\vec{O B} \cdot \vec{O C} = \frac{1}{2}$ ，求 $\vec{O A} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的取值范围．

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