湖北省武汉市江岸区2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a ， b \in R ， a + 3 i = (b + i) i$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $a = 1 ， b = - 3$ B、 $a = - 1 ， b = 3$ C、 $a = - 1 ， b = - 3$ D、 $a = 1 ， b = 3$

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2. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、普查 B、分层抽样 C、简单随机抽样 D、非以上三种抽样方法

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3. 已知 $s i n θ + 2 c o s θ = 0$ ，则 $\frac{s i n θ (1 + s i n 2 θ)}{s i n θ + c o s θ} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = m \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， A，B，C三点共线，则m＝（）

A、－ $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、－6 D、6

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5. 已知三条不重合的直线m，n，l，三个不重合的平面α ，β， γ，则下列命题不正确的个数是（）
①若 $m / / n ， n \subset α ，则 m / / α ；$ ②若 $l ⊥ α ， m \subset β ， l ⊥ m ，则 α / / β ；$ ③若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ ， α ∩ β = l ，则 l ⊥ γ ；$ ④ $m \subset α ， n \subset α ， m / / β ， n / / β ，则 α / / β$ .

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 在ΔABC中，已知 $(a - c c o s B) c o s A = a c o s B c o s C$ ，那么ΔABC一定是（）

A、等腰或直角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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7. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是半径为 $3$ 的球 $O$ 的球面上的三个点，且 $∠ A C B = 12 0^{∘}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C + B C = 2$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，的棱长为2，点 $M$ 为线段 $C C_{1}$ （含端点）上的动点， $A M ⊥$ 平面 $α$ ，下列说法正确的是（）

A、若点 $N$ 为 $D D_{1}$ 中点，当 $A M + M N$ 最小时， $\frac{C M}{C C_{1}} = 2 - \sqrt{2}$ B、当点 $M$ 与 $C_{1}$ 重合时，若平面 $α$ 截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大 C、直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角的余弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、若点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，平面 $α$ 过点 $B$ ，则平面 $α$ 截正方体所得截面图形的面积为 $\frac{9}{2}$

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二、多选题

9. 已知i是虚数单位，若 $z (2 + i) = \frac{3 - i}{2 + i}$ ，则（）

A、复数z的虚部为 $- \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ C、复数z对应的点在第二象限 D、 $| z - 1 | = 1$

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10. 若数据x₁ ， x₂ ， …，x_m的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ，数据y₁ ， y₂ ， …，y_n的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，下列说法中一定正确的有（）

A、这m＋n个数据的平均数为 $\frac{m \bar{x} + n \bar{y}}{m + n}$ B、若这m＋n个数据的平均数为ω，则这m＋n个数据的方差为： $s^{2} = \frac{m [s_{x}^{2} + (\bar{x} - ω)^{2}] + n [s_{y}^{2} + (\bar{y} - ω)^{2}]}{m + n}$ C、若m＝n， $y_{i} = a x_{i} + b (i = 1 ， 2 ， ⋯ n)$ ，则 $\bar{y} = a \bar{x} + b$ D、若m＝n， $y_{i} = a x_{i} + b (i = 1 ， 2 ， ⋯ n)$ ，则 $s_{y}^{2} = a^{2} s_{x}^{2} + b$

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11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面ABCD中， $A B = A D = B C = 2 c m$ ，且 $C D = 2 A B$ ，下列说法正确的有（）

A、 $∠ A D C = 30 °$ B、该圆台轴截面ABCD面积为 $3 \sqrt{3} c m^{2}$ C、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3} c m^{3}$ D、沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm

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12. 已知函数 $f (x) = s i n | x | - | c o s x |$ ，下列关于此函数的论述正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2} ， 1]$ C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 内有4个零点

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三、填空题

13. 某篮球队有8名运动员，身高（单位：cm）如下：186，194，216，198，192，201，211，208，则身高从低到高的第40百分位数是cm.

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14. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $13 5^{°}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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15. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F， $F_{1}$ ， $E_{1}$ 分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为．

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16. 已知 $△ A B C$ ，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ， $c = 1$ ， $∠ C$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ .若 $s i n A + s i n B = 2 s i n ∠ A C B$ ，则 $a + b =$ ， $C D$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知平面直角坐标系中，点O为原点， $A (2 ， - 1)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ．

(1)、若 $| \vec{a} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为45°，求 $(2 \vec{a} - \vec{A B}) \cdot (\vec{a} + \vec{A B})$ 的值；

(2)、设 $\vec{e}$ 为单位向量，且 $\vec{e} ⊥ \vec{O A}$ ，求 $\vec{e}$ 的坐标．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ 且满足 $c s i n A = a c o s C .$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $\sqrt{3} s i n A - c o s (B + \frac{π}{4})$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A ， B$ 的大小．

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19. 《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2．

(1)、求证：AE⊥CF；

(2)、求三棱锥A-BCE的体积．

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20. 为建设一支听党指挥，能打胜仗，作风优良的人民军队.某部队加强了新兵的训练，今随机对其中的1000名新兵的初训成绩（满分：100分）作统计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为[50，60)，[60，70) [70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制如图所示的频率分布直方图

(1)、根据频率分布直方图估计这1000名新兵成绩的中位数和平均数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，若分数在区间[70，90)的新兵实际成绩的平均数与方差分别为78分和 $\frac{128}{5}$ ，第三组新兵实际成绩的平均数与方差分别为74分和2.求第四组新兵实际成绩的平均数与方差.

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21. 如图菱形ABCD和平面四边形ABEF的面积相等，且菱形ABCD和平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ΔABE是等腰直角三角形形，AB＝AE，∠EAF＝30°，∠BAD＝120°

(1)、设P是线段CD上一点，且 $\vec{C D} = 3 \vec{C P}$ ，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

(2)、求二面角F－BD－A的正切值.

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22. 已知函数 $f (x) = 4 s i n^{2} (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) s i n x + (c o s x + s i n x) (c o s x - s i n x) - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、常数 $ω$ ＞0，若函数 $y = f (ω x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$ 上是增函数，求 $ω$ 的取值范围；

(3)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2 m}$ ，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图像，若存在非零常数 $λ$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $g (x + λ) = λ g (x)$ 成立，求实数m的取值范围.

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