湖北省武汉市常青联合体2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ，若有 $| a - i | = \sqrt{5}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a =$ （）

A、1 B、-2 C、±2 D、±1

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2. 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积（）

A、32 B、48 C、64 D、 $\frac{32}{3}$

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3. 如图，在四边形ABCD中， $\vec{A B} = 3 \vec{D C}$ ，E为边BC的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ 则λ+μ＝（）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、1 C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的表达式为 $($ $)$

A、 $f (x) = 2 s i n (\frac{3}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = 2 s i n (\frac{3}{2} x + \frac{5 π}{4})$ C、 $f (x) = 2 s i n (\frac{4}{3} x + \frac{2 π}{9})$ D、 $f (x) = 2 s i n (\frac{4}{3} x + \frac{25}{18} π)$

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5. 已知三条不同的直线 $l ， m ， n$ 和两个不同的平面 $α ， β$ ，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m / / α ， n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $l / / α ， m \subset α$ ，则 $l / / m$ C、若 $α ⊥ β ， l \subset α$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $l / / α ， l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 已知 $c o s (\frac{π}{4} + θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n 2 θ$ 的值是（）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
① $A C ∥ E B$ ；② $A C$ 与 $D G$ 成 $6 0^{∘}$ 角；③ $D G$ 与 $M N$ 成异面直线且 $D G ⊥ M N$ ；④若 $N B$ 与面 $A B C D$ 所成角为 $a$ ，则 $s i n a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + a c o s ω x$ ，周期 $T < π ， f (\frac{π}{3}) = 1$ ，且在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值，则使得不等式 $λ | ω | \geq a$ 恒成立的实数 $λ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{2}{21}$ D、 $\frac{2}{27}$

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二、多选题

9. 设向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) // \vec{b}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

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10. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，给出下列命题，不正确的是（）．

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到一个偶函数的图象 D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上为增函数

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11. 下列结论正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、已知 $t a n (a + β) = \frac{2}{5} ， t a n (β - \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n (a + \frac{π}{4}) = \frac{3}{11}$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} + a^{2} - c^{2} = 2 a c ， s i n B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $C = \frac{π}{6}$ D、正六棱台的上､下底面边长分别是 $2 c m$ 和 $6 c m$ ，侧棱长是 $5 c m$ ，则它的体积是 $60 \sqrt{3} c m^{3}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为1，点 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A、当 $\vec{A_{1} C} = 3 \vec{A_{1} P}$ 时， $D_{1} P / /$ 平面 $B D C_{1}$ B、当 $P$ 为 $A_{1} C$ 中点时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的外接球表面为 $\frac{9}{2} π$ C、 $A P + P D_{1}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $A_{1} P = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，点 $P$ 是 $△ A B_{1} D_{1}$ 的重心

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三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} ， (1 + 2 i) \bar{z} = 4 + 3 i$ ，求 $z =$ .

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14. 已知 $\vec{e}$ 为一单位向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 之间的夹角是120°，而 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 方向上的投影向量为 $- 2 \vec{e}$ ，则 $| \vec{a} | =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{4}$ ， BC边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，则 $c o s A =$ ．

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，其中 $A D = 1 ， A B = 2$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且直线 $P B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球体积为.

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四、解答题

17. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B_{1} D_{1}$ 的中点， $A C \cap B D = O$ .求证：

(1)、 $A C ⊥$ 平面 $B_{1} B D D_{1}$ ；

(2)、 $D E / /$ 平面 $A C B_{1}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 1 + 2 s i n \frac{x}{3} (c o s \frac{x}{3} - s i n \frac{x}{3})$ ，在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a ､ b ､ c$ ，

(1)、求函数 $f (C)$ 的最大值，并求出此时 $C$ 的值；

(2)、若 $f (C - \frac{π}{8}) = \sqrt{2}$ ，且 $3 b^{2} = 8 a c$ ，求 $c o s B$ 的值.

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19. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD， $P A = \sqrt{3}$ ．
（I）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小．

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20. 在① $c o s^{2} A - \sqrt{3} s i n A s i n C = c o s^{2} B + s i n^{2} C$ ， ② $2 b c o s (A + \frac{π}{3}) = c$ ， ③ $(a - b - c) (a + b - c) + (2 + \sqrt{3}) a c = 0$ ，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____.

(1)、求角B

(2)、若 $b = 2$ ，求 $\sqrt{3} c + 2 a$ 的取值范围.

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21. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)、经过 $t$ 分钟后游客甲距离地面的高度为 $H$ 米，已知 $H$ 关于 $t$ 的函数关系式满足 $H (t) = A s i n (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2}$ ），求摩天轮转动一周的解析式 $H (t)$ ；

(2)、游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？

(3)、若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 $h$ 米，求 $h$ 的最大值.

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22. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，侧面 $△ A B D$ 是边长为4的正三角形， $A C = 2 C D = 4$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，把平面 $A C D$ 沿 $C D$ 旋转至平面 $P C D$ 的位置，记点 $A$ 旋转后对应的点为 $P$ （不在平面 $B C D$ 内）， $M ､ N$ 分别是 $B D$ ､ $C D$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、当三棱锥 $C - A P D$ 的体积最大值时，求三棱锥 $P - B M N$ 的体积.

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