湖北省鄂州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $(1 - i) z = 2$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $A = 45 °$ ， $C = 30 °$ ， $c = 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$

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3. 某单位有员工147人，其中女员工有63人.为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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4. 设 $\vec{e}$ 为单位向量， $| \vec{a} | = 2$ ，当 $\vec{a} ， \vec{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为（）

A、－ $\frac{1}{2}$ $\vec{e}$ B、 $\vec{e}$ C、 $\frac{1}{2}$ $\vec{e}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\vec{e}$

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5. 某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）

A、是对立事件 B、都是不可能事件 C、是互斥事件但不是对立事件 D、不是互斥事件

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6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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7. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C E$ 的中点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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8. 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC. $P A = P B = A B = \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 2$ ，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A、5π B、 $\frac{16 π}{3}$ C、8π D、20π

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二、多选题

9. 复数z满足 $(2 - 3 i) \cdot z = (2 + 3 i) (3 + 2 i)$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的实部为3 B、z的虚部为2 C、 $\bar{z} = - 3 + 2 i$ D、 $| z | = \sqrt{13}$

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10. 2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有（）

A、受疫情影响，1~2月份社会消费品的零售总额明显下降 B、社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓 C、与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大 D、与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大

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11. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上､下两部分空间图形且上､下两部分的高之比为 $1 ： 2$ ，则关于上､下两部分空间图形的说法正确的是（）.

A、侧面积之比为 $1 ： 2$ B、侧面积之比为 $1 ： 8$ C、体积之比为 $1 ： 27$ D、体积之比为 $1 ： 26$

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12. 在 $△$ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断 $△$ ABC是钝角三角形的有（）

A、 $a c o s A = b c o s B$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 2 a$ C、 $\frac{a - b}{c + b} - \frac{s i n C}{s i n A + s i n B}$ D、 $b c o s C + c c o s B = b$

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三、填空题

13. 若m为实数，复数 $z = m - 2 + (m^{2} - 4) i \geq 0$ ，则|z|＝．

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14. 某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为.

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15. 已知甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{4}{5}$ ，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲､乙､甲､乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲､乙共射击了四次的概率是.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 3$ ，点P为边BC上的一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为.

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四、解答题

17.

(1)、用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

(2)、若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， x)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值.

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值.

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19. 在①使三棱锥 $P - A B C$ 体积取得最大值，②使 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
如图1， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $P$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A B P$ 沿 $A P$ 翻折形成图2中的三棱锥，____，动点 $M$ 在棱 $A C$ 上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P M B$ ；

(2)、求直线 $M B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正切值的取值范围．

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20. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 c c o s A + 2 a c o s C = b + 2 a s i n B$ .

(1)、求角A；

(2)、若△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ ，求a的最小值.

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21. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， $P A = A B$ .证明：

(1)、 $E F$ $∥$ 平面PDC；

(2)、PB⊥平面DEF.

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22. 2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组 $[20 ， 25)$ ，第二组 $[25 ， 30)$ ，第三组 $[30 ， 35)$ ，第四组 $[35 ， 40)$ ，第五组 $[40 ， 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)、根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.

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