河南省驻马店市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. $s i n \frac{11 π}{6} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则 $\vec{A B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $2 \vec{O A}$ B、 $2 \vec{O B}$ C、 $2 \vec{O C}$ D、 $2 \vec{O D}$

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3. 复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则z在复平面内对应的点位于第（）象限．

A、一 B、二 C、三 D、四

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4. 已知 $α / / β$ ，若直线 $m$ 、 $n$ 分别在平面 $α$ 、 $β$ 内，则 $m$ 、 $n$ 的关系不可能是（）

A、平行 B、相交 C、垂直 D、异面

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5. 已知 $\vec{a} = (3 c o s θ ， s i n θ) (θ \in R)$ ，则 $| \vec{a} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的四棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的高为 $\sqrt{6}$ ，其轴截面为等边三角形，则该四棱锥的体积等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ B、 $2 \sqrt{6} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3} π$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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7. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{7}{13} (0 < α < π)$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{12}{5}$ B、 $- \frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{12}{5}$

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8. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ， $b = x > 0$ ，若 $△ A B C$ 只有一解，则实数x的取值范围为（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} < x < 2$ D、 $x \geq 2$ 或 $x = \sqrt{3}$

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9. 如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系 $y = A s i n (ω x + φ) + 2 (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ ，则有（）

A、 $ω = \frac{2 π}{15}$ ， $φ = \frac{4 π}{3}$ B、 $ω = \frac{15 π}{2}$ ， $φ = \frac{4 π}{3}$ C、 $ω = \frac{2 π}{15}$ ， $φ = \frac{7 π}{6}$ D、 $ω = \frac{15 π}{2}$ ， $φ = \frac{7 π}{6}$

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10. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为6，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 60 °$ ，则该三棱柱的侧面积等于（）

A、 $36 \sqrt{3}$ B、 $54 \sqrt{3}$ C、 $36 + 36 \sqrt{3}$ D、 $36 + 54 \sqrt{3}$

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11. 已知D，E分别是 $△ A B C$ 边AB，AC上的点，且满足 $\vec{A B} = \frac{3}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{A C} = 4 \vec{A E}$ ， $B E ∩ C D = O$ ，连接AO并延长交BC于F点．若 $\vec{A O} = λ \vec{A F}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{7}{10}$

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12. 已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角三角形BCD，且 $A B = 3$ ， $∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体 $A^{'} B C^{'} D$ ，则当四面体 $A^{'} B C^{'} D$ 的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（）

A、12π B、18π C、21π D、28π

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二、填空题

13. 若复数z=（m²-1）+（m+1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为．

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14. 一水平放置的平面图形按“斜二测画法”得到直观图为斜边等于 $\sqrt{6}$ 的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为．

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15. 已知角 $α$ 的终边上有一点 $P (m ， \sqrt{3})$ ，且 $c o s α = \frac{\sqrt{2} m}{4}$ ，则实数m取值为．

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16. 设 $△ A B C$ 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为 $△ A B C$ 的边BC上的中线，且 $b = 4$ ， $c = 2$ ， $c o s ∠ B A D = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $S_{△ A D C} =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $s i n (α + β) = \frac{1}{3}$ ．

(1)、证明： $t a n α + 5 t a n β = 0$ ；

(2)、计算： $\frac{t a n (α - β) - t a n α + t a n β}{t a n^{2} α \cdot t a n (α - β)}$ 的值．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， m)$ ， $\vec{b} = (1 - m ， - 6) (m \in R)$ ．

(1)、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，求实数m的值；

(2)、若 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ 为钝角，求实数m的取值范围．

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ ， $△ A B C$ 均为等边三角形， $P A = 4$ ， O为AB中点，点D在AC上，满足 $A D = 1$ ，且面 $P A B ⊥$ 面ABC．

(1)、证明： $D C ⊥$ 面POD；

(2)、若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得 $E F ∥$ 面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 1$ ， $\sqrt{3} c o s B = b s i n A$ ．

(1)、求B的值．

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积的取值范围．

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21. 如图所示，在直角梯形BCEF中， $∠ C B F = ∠ B C E = 90 °$ ， A，D分别是BF，CE上的点，且 $A D ∥ B C$ ， $A B = E D = 2 B C = 2 A F = 2$ ，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC．

(1)、证明： $A C ∥$ 面BEF；

(2)、若 $E C = 2 \sqrt{2}$ ，求直线BF与平面EBC所成的角的正弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x + φ) - 1 (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，且 $f (2 x)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $f (x)$ 的图像沿x轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ ，其中 $x = \frac{π}{3}$ 为 $g (x)$ 的一条对称轴．

(1)、求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $g (\frac{π}{3} - x) - f (x) + g (\frac{π}{3} - x) \cdot f (x) + 2 t - 1 = 0$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{5}{6} π]$ 有解，求实数t的取值范围．

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