河南省许昌市2021-2022学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $i (1 - z) = 1 ，$ 则 $z + \bar{z} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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2. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3. 某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件M为“至少3名女生参加”，则下列事件与事件M对立的是（）

A、恰有1名女生参加 B、至多有2名男生参加 C、至少有2名男生参加 D、恰有2名女生参加

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 9$ ， $| \vec{b} | = 12$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、36 B、 $36 \sqrt{2}$ C、54 D、 $54 \sqrt{2}$

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5. 已知P在 $△ A B C$ 所在平面内，满足 $| \vec{P A} | = | \vec{P B} | = | \vec{P C} |$ ，则P是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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6. 下列四个命题中不正确的是（）

A、平行线段在直观图中仍然平行 B、相等的角在直观图中仍然相等 C、直线与平面相交有且只有一个公共点 D、垂直于同一个平面的两条直线平行

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7. 某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，图中信息，下列结论错误的是（）

A、图中的x值为0.020 B、得分在80分及以上的人数为40 C、这组数据平均数的估计值为77 D、这组数据第80百分位数的估计值为85

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8. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线向量，向量 $\vec{b} - t \vec{a}$ ， $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ 共线，则实数 $t =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知a，b是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面．给出下列命题：
①若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = a$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b ⊥ α$ 或 $b ⊥ β$ ；②若 $α ∥ β$ ， $α$ ∩ $γ$ =a， $β ∩ γ = b$ ，则 $a ∥ b$ ；③若 $α ∩ β = a$ ， $α ∩ γ = b$ ， $a ∥ b$ ，则 $β ∥ γ$ ；④“若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ ”是随机事件；⑤若a，b是异面直线，则存在平面 $α$ 过直线a且垂直于直线b．
其中正确的命题是（）

A、①③ B、②⑤ C、③④ D、②④

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10. 已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x ， y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x c o s θ - y s i n θ ， x s i n θ + y c o s θ)$ ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P．已知平面内点 $A (1 ， 2)$ ，点 $B (2 ， 3)$ ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 $\frac{11 π}{6}$ 得到点P，则点P的坐标为（）

A、 $(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

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11. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，所有的棱长都相等，E为AB中点，F对AC上一动点，若DF＋FE的最小值为 $2 \sqrt{7}$ ，则该三棱锥的外接球体积为（）

A、 $8 \sqrt{6} π$ B、 $7 \sqrt{6} π$ C、 $6 \sqrt{6} π$ D、 $5 \sqrt{6} π$

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二、多选题

12. 对于任意两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | ⩽ | \vec{a} | | \vec{b} |$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | ⩽ | \vec{a} | - | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} | ⩽ | \vec{a} | + | \vec{b} |$

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b = 6$ ， $A = 45 °$ ， $C = 75 °$ ，则 $c =$ ．

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14. 某学校共有学生2000名，各年级的男生、女生人数如下表：

一年级
二年级
三年级
男生
377
370
z
女生
373
x
y
已知从全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19．现用分层随机抽样的方法，从全校学生中抽取64名，则应在三年级抽取的学生人数为名．

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15. 在2022年新冠肺炎疫情期间，长葛市组织市民进行核酸检测，某个检测点派出了3名医生，6名护士．把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为．

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16. 19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值 $\frac{1}{9}$ 的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 $P_{b} (n) = l o g_{b} (\frac{n + 1}{n})$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若 $\sum_{i = 1}^{n} P_{10} (i) \leq \frac{2}{3}$ ，则n的最大值为．

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四、解答题

17. 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．画图，并用图中字母写出已知、求证；写出证明过程．

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18. 某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若二人合为一组，则该组破译的概率为 $\frac{3}{4}$ ，若三人合为一组，则该组破译的概率为 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、若四人独立翻译，求破译出密码的概率；

(2)、若将四人分成两组，两组独立破译密码，求破译出密码的概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D$ ， $P A ⊥ C D$ ， $C D = 2$ ， $A D = 3$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正切值.

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20. 鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现质量（单位：克）都在 $[500 ， 1000]$ 之间，这些鱼的质量按照 $[500 ， 600)$ ， $[600 ， 700)$ ， $[700 ， 800)$ ， $[800 ， 900)$ ， $[900 ， 1000]$ 分组得到频率分布直方图如下：

(1)、求鱼塘中所有鱼质量的平均数的估计值；

(2)、根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案：
方案一：不论鱼的大小统一定价为每100克10元；
方案二：质量小于700克的鱼，每100克8元；质量在 $[700 ， 800)$ （克）之间的鱼，每100克12元；质量不小于800克的鱼，每100克10元．方案（二）需要付分拣费：每100条鱼50元．
请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案．
注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表．

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21. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求b，c．

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22. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将 $△ A P D$ 、 $△ C D Q$ 分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．

(1)、求证： $P M ⊥ D Q$ ；

(2)、在线段MD上是否存在一点F，使 $B M ∥$ 平面PQF，如果存在，求 $\frac{F M}{F D}$ 的值，如果不存在，说明理由．

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	一年级	二年级	三年级
男生	377	370	z
女生	373	x	y