河南省三门峡市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列命题正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、一条直线和一个点确定一个平面 C、两条直线确定一个平面 D、梯形可确定一个平面

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2. 若复数 $z_{1}$ 对应复平面内的点 $(2 ， 3)$ ，且 $z_{1} \cdot z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{2}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{13} i$ B、 $\frac{1}{13} i$ C、 $- \frac{1}{13}$ D、 $\frac{1}{13}$

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3. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$

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4. 某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为（）

A、750 B、1700 C、600 D、700

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5. 以下命题（其中 $a$ ， $b$ 表示直线， $α$ 表示平面）中，正确的命题是（）

A、若 $a / / b$ ， $b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / b$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ α$ D、若 $a / / α$ ， $b \subset α$ ，则 $a / / b$

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6. 一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{12}$

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7. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的 $\frac{2}{3}$ （细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）

A、 $\frac{8}{27}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 如图所示， $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 6 0^{∘}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $\vec{B E} = 2 \vec{E A}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{11}{4}$ B、 $- \frac{11}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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二、多选题

9. 已知i为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (3 + i) = 2 - i$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 的模为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、复数 $z$ 的共轭复数为 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、复数 $z^{2}$ 为纯虚数 D、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限

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10. 袋中装有质地均匀的红、白色球各一个，每次取一个，有放回地抽取两次，设事件 $A =$ “第一次取到红球”，事件 $B =$ “第二次取到红球”，下列说法正确的是（）

A、 $A$ 与 $\bar{B}$ 为对立事件 B、 $P (A) = P (B)$ C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $A B$ 与 $\bar{A} \bar{B}$ 为互斥事件

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11. 如图在三棱柱 $A B C － A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ C B$ ，点 $D$ 是 $A B$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $B C ⊥ A C_{1}$ B、当D为 $A B$ 的中点时，平面 $C D B_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ C、当 $D$ 为 $A B$ 中点时， $A C_{1} / /$ 平面 $C D B_{1}$ D、三棱锥 $A_{1} － C D B_{1}$ 的体积是定值

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $c = a c o s B + b c o s A$ B、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $a^{2} t a n B = b^{2} t a n A$ ，则 $a = b$ D、若 $a^{3} + b^{3} = c^{3}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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三、填空题

13. 某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，根据此图，估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为小时．

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14. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取五局三胜制（当一人赢得三场胜利时获胜，比赛结束）．根据他们以往交手成绩，甲胜的概率为0.6，若各局比赛结果相互独立，则甲以 $3 ： 1$ 获胜的概率是．

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15. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， D是BC的中点， $P A = A B = 2$ ， $P D = \sqrt{6}$ ， PD与AC所成角的正切值为．

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\vec{m} = (a + b ， s i n C)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} a + c ， s i n B - s i n A)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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四、解答题

17. 复数 $z$ 满足 $| z | = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 为纯虚数，若复数 $z$ 在复平面内所对应的点在第一象限．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、复数 $z$ ， $\bar{z}$ ， $z^{2}$ 所对应的向量为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，已知 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{b} + \vec{c})$ ，求 $λ$ 的值．

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18. 某科研课题组通过一款手机

A P P

软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”

)

，得到如下的频数分布表：

周跑量

$(km/$ 周)

$[10 ， 15)$

$[15 ， 20)$

$[20 ， 25)$

$[25 ， 30)$

$[30 ， 35)$

$[35 ， 40)$

$[40 ， 45)$

$[45 ， 50)$

$[50 ， 55)$

人数

100

120

130

180

220

150

(1)、补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；

(2)、根据以上图表数据，试求样本的中位数(保留一位小数)；

(3)、根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：

周跑量	小于20公里	20公里到40公里	不小于40公里
类别	休闲跑者	核心跑者	精英跑者
装备价格(单位：元)	2500	4000	4500

根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

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19. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $b + 4 \cos A (a \cos C + c \cos A) = 0$ .

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 4$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - \frac{3}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ $A B C$ 是边长为2的正三角形，点 $E ， F$ 分别是棱 $C C_{1} ， B B_{1}$ 上的点，点 $M$ 是线段 $A C$ 上一点， $E C = 2 F B = 2$ .

(1)、若 $M$ 为 $A C$ 的中点，证明： $B M$ $/ /$ 平面 $A E F$ ；

(2)、若 $V_{A - B C E F} = 3 V_{A - M E B}$ ，求 $A M$ .

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21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M ，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N ，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p ，在N点投中的概率都为q.且在M ， N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙得5分的概率为 $\frac{1}{6}$ .

(1)、求p ， q的值；

(2)、求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.

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22. 如图 $①$ 梯形 $A B C D$ 中 $A D / / B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $B E ⊥ A D$ 且 $B E = 1$ ，将梯形沿 $B E$ 折叠得到图 $②$ ，使平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $C E$ 与 $B D$ 相交于 $O$ ，点 $P$ 在 $A B$ 上，且 $A P = 2 P B$ ， $R$ 是 $C D$ 的中点，过 $O ， P ， R$ 三点的平面交 $A C$ 于 $Q$ ．

(1)、证明： $Q$ 是 $A C$ 的中点；

(2)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B E Q$ ；

(3)、 $M$ 是 $A B$ 上一点，已知二面角 $M － E C － B$ 为 $4 5^{∘}$ ，求 $\frac{A M}{A B}$ 的值．

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