河南省濮阳市2021-2022学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面 $α$ 内，“ $l ⊥ α$ ”是“ $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为 $5.5 k W \cdot h$ ，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（）.

A、一定为 $5.5 k W \cdot h$ B、高于 $5.5 k W \cdot h$ C、低于 $5.5 k W \cdot h$ D、约为 $5.5 k W \cdot h$

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4. 如果直线 $a ∥$ 平面 $α$ ， $P \in α$ ，那么过点P且平行于直线a的直线（）

A、只有一条，不在平面 $α$ 内 B、有无数条，不一定在平面 $α$ 内 C、只有一条，且在平面 $α$ 内 D、有无数条，一定在平面 $α$ 内

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5. 四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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6. 已知等边三角形ABC的边长为1， $\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{C A} = \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{c}$ ，那么 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} + \overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a} =$ （）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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7. 若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =$ （）

A、2 B、5 C、2或5 D、 $\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x ， g (x) = l o g_{2} x + x ， h (x) = x^{3} + x$ 的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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9. 已知命题“ $\forall x \in R$ ， $4 x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} > 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0] ∪ [4 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 4)$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、 $f (\frac{π}{6}) = 2$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{2 π}{3} ， \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增

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11. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A、α∥β且l∥α B、α⊥β且l⊥β C、α与β相交，且交线垂直于l D、α与β相交，且交线平行于l

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12. 已知 $a = l o g_{3} 4$ ， $b = l o g_{4} 5$ ， $c = \frac{3}{2}$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 分别表示向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则表示向量 $\overset{⇀}{B A}$ 的复数为.

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14. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $c o s A = \frac{4}{5}$ ， $t a n B = 2$ ， $t a n (2 A + 2 B) =$ .

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16. 已知 $(m^{2} - m) 2^{x} - {(\frac{1}{2})}^{x} \leq 1$ 对任意 $x \in (- \infty ， - 1]$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 设集合 $A = {1, 4, x}$ , $B = {1 ， x^{2}}$ ，且 $A \cap B = B$ ,求x的值.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $B = 3 0^{∘}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，解这个三角形．

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19. 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设 $A =$ “第一次摸到球的标号小于3”， $B =$ “第二次摸到球的标号小于3”，分别计算 $P (A)$ ， $P (B)$ ， $P (A B)$ .

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20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，M是PD的中点.

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面PCD；

(2)、求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

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21. 2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环 $x$ 万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{matrix} 100 - k x ， 0 < x \leq 20 \\ \frac{2100}{x} - \frac{9000 k}{x^{2}} ， x > 20 \end{matrix}$ ．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)、求出 $k$ 的值并写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （万部）的函数解析式 $W (x)$ ；

(2)、当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

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22. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x - 2 a c o s x - 2 a$ 的最小值为f（a），且 $f (a) = \frac{1}{2}$ ，

(1)、求a的值；

(2)、求函数f（x）的最大值．

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