河南省平顶山市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2}{i - 1} + 1$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，b=3， $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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3. 如图所示，在四边形OABC中，OA=2， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， BC=3， $O A ⊥ A B$ 且 $O A ∥ B C$ ，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、5 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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4. 甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是（）

A、甲校女生比乙校女生多 B、乙校男生比甲校男生少 C、乙校女生比甲校男生少 D、甲校女生比乙校男生少

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 6)$ ， $\vec{c} = (7 ， 3)$ ，则 $\vec{c}$ 可用 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 表示为（）

A、 $3 \vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ C、 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ D、 $3 \vec{a} - \vec{b}$

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6. 6把不同的钥匙中只有 $1$ 把可以打开某个锁，从中任取2把能将该锁打开的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 甲、乙两个袋中各有不同颜色的小球若干个，已知从甲袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，若从两袋中各随机摸出一个球，则至少摸到一个红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{12}$

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8. 已知圆台上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，AB是下底面的直径，若点C是下底面圆周上的动点，点D是上底面内的动点，则四面体ABCD的体积最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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9. 已知直线a，b和平面 $α$ ， $β$ ，若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则下列情况不可能成立的是（）

A、 $a / / b$ 且 $a / / β$ B、 $a / / b$ 且 $a ⊥ β$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 且 $a / / β$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 且 $a ⊥ β$

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10. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{b + c}{s i n A} = \frac{b - a}{s i n B - s i n C}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ ， $a + b = \sqrt{2} c$ ，则c=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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11. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录每次得到的点数，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第一次点数为偶数”，丙表示事件“两次点数之和为6”，丁表示事件“两次点数之和为7”，则（）

A、甲与乙相互独立 B、甲与丙相互独立 C、甲与丁相互独立 D、乙与丙相互独立

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12. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，D是线段BC上一点， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C} (λ > 0 ， μ > 0)$ ，则 $λ + 2 μ$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

13. 某企业的青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为180，80，20，现按照各年龄段的员工人数比例，用分层随机抽样的方法抽取42名员工参加座谈会，则抽取的中年员工人数为．

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14. 已知 $△ A B C$ 是底边 $B C = 4$ 的等腰三角形，点M是边AB的中点，则 $\vec{C M} \cdot \vec{B C} =$ ．

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15. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A A_{1} = 2 A B$ ， E是棱 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - B B_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积与长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积之比为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $2 a c o s A - b c o s C - c c o s B = 0$ ，则 $s i n B + s i n C$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $M$ 是 $P D$ 中点.

(1)、证明：直线 $P B / /$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A C M$ 的体积．

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18. 已知复数z在复平面内对应的点A位于第一象限，且 $z \cdot \bar{z} = z + \bar{z} = 2$ ．

(1)、求z；

(2)、设 $z^{2}$ ， $z - z^{2}$ 在复平面内对应的点分别为B，C，求 $c o s ∠ A B C$ ．

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19. 在生产某种零件的工厂中，根据工人加工出的零件质量进行相应的奖励或惩罚．已知这种零件按照质量指标值可分为A，B，C，D四个等级，且根据等级A，B，C，D对相应工人分别奖励10元、奖励0元、罚款5元、罚款10元．设某工人加工的零件为等级B，C，D的概率分别是 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{10}$ ，且加工每个零件互不影响．

(1)、若该工人加工一个零件，求其不被罚款的概率；

(2)、若该工人加工两个零件，求其获得的奖励之和为0元的概率．

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20. 已知 $△ A B C$ 的外接圆直径为d，内角A，B，C所对的边分别a，b，c， $s i n \frac{A}{2} = \frac{3}{5}$ ， $d^{2} s i n B s i n C = 25$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a = 6$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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21. 如图所示，圆锥PO的母线长为 $\sqrt{2}$ ，底面圆O的直径AB＝2，C是圆O所在平面内一点，AC与圆O相切，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC，CO，DO．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面PAC；

(2)、若 $A C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $C - P O - D$ 的正切值．

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22. 从某校男生中随机抽取100人测量他们的身高，发现他们的身高都在155～185cm之间，将统计得到的原始数据进行分组，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间）．

(1)、已知该校一共有1500名男生，估计该校身高在［165，170）内的男生人数．

(2)、估计该校男生身高的90％分位数．（结果精确到0.1）

(3)、将身高不低于170cm的男生称为“高个子”，低于170cm的男生称为“非高个子”．已知在原始数据中，高个子男生的身高的平均数为177，方差为10，所有这100名男生的身高的平均数为168，方差为64，求非高个子男生的身高的平均数与方差．

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