河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期数学期终摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - 3 i} + 2$ ，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $c o s A = \frac{\sqrt{7}}{4} ， a = 5 ， b = 4$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

查看试题解析
3. 已知钝角 $α$ 的终边经过点 $(c o s \frac{2 π}{3} ， s i n \frac{π}{6})$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{7 π}{8}$

查看试题解析
4. 若一个圆锥的底面面积为 $π$ ，其侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

查看试题解析
5. 已知向量 $\vec{a} = (m ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， m + 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是与 $\vec{a}$ 同向的单位向量，则 $\vec{c} =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$

查看试题解析
6. 已知 $a$ 、 $b$ 为两条不同的直线， $α$ 为平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b / / α$ B、若 $a / / α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $b ⊥ α$ C、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ D、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ，则 $b ⊥ α$

查看试题解析
7. 已知 $m ， n \in R$ ，复数 $z_{1} = m + 3 i$ ， $z_{2} = z_{1} + 4 - n i$ ，且 $z_{2}$ 为纯虚数， $| z_{2} | = 1$ ，则 $m + n =$ （）

A、0 B、0或-2 C、1 D、1或-2

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{3} - x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{5 π}{6}]$ ， $k \in Z$ B、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{5 π}{6}]$ ， $k \in Z$ C、 $[2 k π + \frac{5 π}{6} ， 2 k π + \frac{11 π}{6}]$ ， $k \in Z$ D、 $[k π + \frac{5 π}{6} ， k π + \frac{11 π}{6}]$ ， $k \in Z$

查看试题解析
9. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

查看试题解析
10. 若 $\frac{7 π}{12} < α < \frac{17 π}{12}$ ，且 $c o s (2 α + \frac{π}{6}) = - \frac{7}{8}$ ，则 $c o s (\frac{5 π}{12} - α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

查看试题解析
11. 已知 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ， $A D = 2$ ， $t a n ∠ B A C = \sqrt{15}$ ，则 $A C + 2 A B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{12 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{12 \sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{6 \sqrt{15}}{5}$

查看试题解析
12. 设函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则下列说法错误的是（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{6} ， \frac{25}{6})$ B、 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 在 $(0 ， π)$ 上的交点恰有2个 C、 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = - 1$ 在 $(0 ， π)$ 上的交点可能有2个 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

查看试题解析

二、填空题

13. 已知复数z满足 $| 2 + b i | = \sqrt{13}$ ， $b \in R$ 且 $b > 0$ ，则 $b =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $α$ 为钝角，且 $t a n α = - 2$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{4}) =$ ．

查看试题解析
15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，PA，PB，PC互相垂直， $P A = P B = 4$ ， M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 $\sqrt{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积是．

查看试题解析
16. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot (\vec{P E} + \vec{P F})$ 的最小值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求 $g (x)$ 的解析式．

查看试题解析
18. 在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

(1)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = \vec{A D} \cdot \vec{D B}$ ，证明：四边形 $A B C D$ 为菱形.

(2)、已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，设 $\vec{A C} = \vec{a} ， \vec{A E} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{D B}$ .

查看试题解析
19. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $D D_{1}$ 、 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $A E C_{1} / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求异面直线 $A C_{1}$ 与 $B F$ 所成角的余弦值．

查看试题解析
20. 如图，在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a c o s C = (2 b - c) c o s A$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $M$ 、 $N$ 分别为边 $B C$ 、 $A C$ 的中点，且 $A M ∩ B N = P$ ， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{19}$ ，求 $b$ 的长度及 $c o s ∠ M P N$ 的值．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = t a n x$ ．

(1)、若 $α$ 为钝角，且 $3 f (2 α) = 4$ ，求 $s i n 2 α + 3 c o s^{2} α$ 的值；

(2)、若 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $f (α) - f (β) = \frac{1}{2 c o s α c o s β}$ ，求 $s i n α + c o s β$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P = P D = D C = 2$ ， $A B = \sqrt{11}$ ， $∠ A D C = ∠ A P D = 90 °$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD．

(1)、证明： $A P ⊥$ 平面PDC．

(2)、若E是棱PA的中点，且 $B E$ $/ /$ 平面PCD，求点D到平面PAB的距离．

查看试题解析