河南省洛阳市2021-2022学年高一下期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，若集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {x | | x - 2 | > 2}$ ，则集合 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、{1} B、 ${0 ， 1 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 5}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

查看试题解析
2. 已知角 $α$ 的终边过点 $(- 4 ， 3)$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

查看试题解析
3. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（）

A、1：1 B、3：2 C、 $π ： 3$ D、 $4 ： π$

查看试题解析
4. 一家水果店的老板为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去10天苹果的日销售量（单位：kg）：83，96，107，91，74，75，94，80，80，100.设该水果店过去10天苹果日销售量的平均数、中位数、极差依次为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $a - b + c$ 的值为（）

A、32 B、33 C、34 D、35

查看试题解析
5. 设 $l$ ， $m$ ， $n$ 是三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $m \subset β$ ， $n \subset β$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ∥ β$ ， $α ∩ γ = m$ ， $β ∩ γ = n$ ，则 $m ∥ n$

查看试题解析
6. 有2人从一座 $6$ 层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该 $2$ 人在不同层离开电梯的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

查看试题解析
7. 给出以下4个关于充分条件和必要条件的命题：
①设 $a ， b \in R$ ， “ $a = b$ ”是“ $l g a = l g b$ ”的充分不必要条件；②在 $△ A B C$ 中，“ $s i n A = s i n B$ ”是“ $A = B$ ”必要不充分条件；③设向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 不共线， $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则“ $x + y = 1$ ”是“ $P$ ， $A$ ， $B$ 共线”的充要条件；④设 $A$ ， $B$ 是不同的事件，“ $A$ 与 $B$ 互斥”是“ $A$ 与 $B$ 互为对立”的既不充分也不必要条件.
其中真命题的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A M$ ， $B N$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 边上的中线，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B N} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = x + x^{3}$ ， $g (x) = x + 3^{x}$ ， $h (x) = x + l o g_{3} x$ 的零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小顺序为（）

A、 $x_{2} > x_{3} > x_{1}$ B、 $x_{3} > x_{2} > x_{1}$ C、 $x_{1} > x_{2} > x_{3}$ D、 $x_{3} > x_{1} > x_{2}$

查看试题解析
10. 洛阳栾川老君山形成于十九亿年前的大陆造山运动，造就了其千姿百态、群蜂竞秀、拔地通天、气势磅礴的景观，塑造了“华夏绿色心脏，世界地质奇观”的主题形象.某旅游爱好者在老君山山脚 $A$ （ $A$ 处的海拔高度约为830m）测得山顶 $P$ 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走1200m到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角为75°，则老君山的海拔高度约为（）（参考数值： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、1469m B、1869m C、2299m D、2399m

查看试题解析
11. 近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度及是否健康，其计算公式： $B M I = \frac{体重}{身高^{2}}$ （体重单位：kg，身高单位：m）.中国成人的BMI数值标准：BMI $< 18.5$ 为了偏瘦， $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常， $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖， $B M I \geq 28$ 为肥胖. 为了解某公司员工的身体状况，从公司全体员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了90名男员工，50名女员工的BMI值，分别制成了频率分布直方图：
根据上图，下列说法正确的是（）

A、估计该公司女员工BMI值的众数等于男员工BMI值的众数 B、估计该公司女员工中偏胖和肥胖的比例大于男员工中偏胖和肥胖的比例 C、估计该公司女员工BMI值的标准差小于男员工BMI值的标准差 D、估计该公司女员工偏瘦的人数大于男员工偏瘦的人数

查看试题解析
12. 在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，点 $O$ 为底边 $A C$ 的中点，将 $△ A B O$ 沿 $B O$ 折起到 $△ D B O$ 的位置，使二面角 $D - B O - C$ 的大小为120°，则异面直线 $D O$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

查看试题解析

二、填空题

13. 某学校有高中学生1000人，其中高一年级，高二年级的人数分别为400，320，为调查学生睡眠时间，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，如果抽取高一年级学生的人数为20，那么应抽取高三年级学生的人数为.

查看试题解析
14. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 4$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

查看试题解析
15. 若 $x > 1$ ，则 $4 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - \frac{1}{x^{2} + 1}$ ，则使得 $f (2 a) < f (a - 3)$ 成立的 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知复数 $z = m^{2} - 2 m + (m - 2) i$ （ $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位）.

(1)、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若复数 $z$ 为纯虚数，且 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，求 $| \bar{z} + \frac{4}{z - 2} |$ .

查看试题解析
18. 某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰.已知李明能正确回答每一道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各轮题目能否正确回答互不影响.

(1)、求李明不需要进入第三轮测试的概率；

(2)、求李明通过面试的概率.

查看试题解析
19. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a s i n A + c s i n C - b s i n B - \sqrt{2} a s i n C = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c o s C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $a = 3 \sqrt{10}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上任一点.

(1)、试确定 $F$ 点的位置，使得 $P D / /$ 平面 $A E F$ ；

(2)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ .

查看试题解析
21. 设函数 $f (x) = a^{x} - (k + 2) a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $f (1) = \frac{3}{2}$ ， $g (x) = a^{2 x} + a^{- 2 x} - 2 m f (x)$ ，且 $g (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的最小值为 $2$ ，求实数 $m$ 的值.

查看试题解析
22. 如图，扇形 $A O B$ 的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径为1.一点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $\overset{⌢}{A B}$ 匀速移动，移动到点 $B$ 后，再沿 $\overset{⌢}{B A}$ 以同样的速度移动至点 $A$ 并终止运动，记点 $P$ 离开 $A$ 的时间为 $t$ ，且在 $t = 3$ 秒时，点 $P$ ， $A$ 首次满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O A} = 0$ .

(1)、记 $f (t) = \vec{O P} \cdot \vec{O B}$ ，求 $f (t)$ ；

(2)、若 $g (t) = \sqrt{3} f (2 t - 1) - 2 f^{2} (t)$ ，求 $g (t)$ 的取值范围.

查看试题解析