河南省开封市五县2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7} ， B = {x | \frac{x - 5}{x - 1} \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${5 ， 7}$ D、 ${1 ， 7}$

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2. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{2} i}{1 - i}$ ，则 $| z^{2} + 1 | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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3. 袋中装有质地和大小相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少有一个白球；都是白球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、至少有一个白球；红、黑球各一个 D、至多有一个红球；恰有两个红球

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4. 下列关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的运算，一定成立的有（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq | \vec{a} + \vec{b} |$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} < | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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5. 已知角 $α$ 为第二象限角， $s i n α = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{- 4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\vec{p} = (b + c - a ， c)$ ， $\vec{q} = (b + c + a ， - b)$ ．若 $\vec{p} ⊥ \vec{q}$ ，则角 $A$ 的大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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7. 如图所示，样本 $A$ 和 $B$ 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 $\bar{x_{A}}$ 和 $\bar{x_{B}}$ ，样本标准差分别为 $s_{A}$ 和 $s_{B}$ ，则（）

A、 $\bar{x_{A}} > \bar{x_{B}}$ ， $s_{A} > s_{B}$ B、 $\bar{x_{A}} < \bar{x_{B}}$ ， $s_{A} > s_{B}$ C、 $\bar{x_{A}} > \bar{x_{B}}$ ， $s_{A} < s_{B}$ D、 $\bar{x_{A}} < \bar{x_{B}}$ ， $s_{A} < s_{B}$

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8. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n B、若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n C、若点A、B到平面α的距离相等，则直线AB//α D、若m⊥α，m//β，则α⊥β

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $C = 6 0^{°}$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $a = x$ ，若满足条件的三角形有1个，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq \sqrt{3} 或 x = 2}$ C、 ${x | 0 < x \leq \sqrt{3}}$ D、 ${x | \sqrt{3} < x < 2}$

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10. 已知奇函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为 $4 π$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(- \frac{5 π}{3} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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11. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{a^{2}}{4} - b^{2} = 1$ ，则 $3 a^{2} + 2 a b$ 的最小值为（）

A、 $6 + 4 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $4 + 6 \sqrt{2}$ D、 $6 + 2 \sqrt{2}$

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12. 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形 $A B C D$ 为正方形，则下列结论正确的是（）

A、该八面体的体积为 $\frac{8}{3}$ B、该八面体的外接球的表面积为16π C、 $E$ 到平面 $A D F$ 的距离为 $\sqrt{3}$ D、 $E C$ 与 $B F$ 所成角为 $6 0^{∘}$

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二、填空题

13. $\frac{2 + i^{2023}}{i} =$ ．

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14. 一组数据共有7个数： $m$ ， 2，2，2，10，5，4，且 $2 < m < 4$ ，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第 $75 %$ 分位数是．

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15. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2} ， \sqrt{3} ， \sqrt{6}$ ，这个长方体对角线的长是.

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16. 已知甲、乙丙3名射击运动员击中目标的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，且每名运动员是否击中目标互不影响，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少有两枪命中的概率为．

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三、解答题

17. 在① $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ， ② $c c o s A + a c o s C = 2 b c o s B$ ， ③ $\sqrt{3} a s i n B + b c o s A = a + c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， s i n A = 2 s i n C ， b = 2$ ，且______，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性（不必写出过程），并解不等式 $f (x + 2) > f (2 x - 1) .$

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $P$ 为 $C D$ 的中点，点 $Q$ 在 $B C$ 上，且 $B Q = 2$ ．

(1)、求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ ；

(2)、若 $\vec{A C} = λ \vec{A P} + μ \vec{A Q}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），求 $\frac{λ}{μ}$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 某学校为了调查学校学生在一周零食方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，分成四组[20，30），[30，40），[40，50），[50，60].其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的学生有180人.

(1)、求n的值；

(2)、请以样本估计全校学生的平均支出为多少元（同一组的数据用该区间的中点值作代表）；

(3)、如果采用分层抽样的方法从[30，40）， [40，50）共抽取5人，然后从中选取 2 人参加学校进一步的座谈会，求在[30，40）， [40，50）中正好各抽取一人的概率为多少.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $A D ⊥ D C$ ，且 $A B = A D = 1$ ， $P D = D C = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B E ∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $P C ⊥$ 平面 $D E Q$ ？若存在，求出 $\frac{P B}{Q B}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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