广东省中山市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A ： s i n B ： s i n C = 3 ： 5 ： 7$ ，则 $c o s C$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（）

A、7 B、7.2 C、7.5 D、8

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3. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（）

A、20家 B、10家 C、15家 D、25家

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4. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指 $O A$ 与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为 $α$ ，观测该卫星的仰角为 $β$ ，则下列关系一定成立的是（）

A、 $\frac{r + h}{c o s β} = \frac{r}{c o s (α + β)}$ B、 $\frac{h}{c o s β} = \frac{r}{c o s (α + β)}$ C、 $\frac{r + h}{s i n β} = \frac{r}{s i n (α + β)}$ D、 $\frac{h}{s i n β} = \frac{r}{s i n (α + β)}$

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5. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 $b \cos C = a + c \cos B$ ，则该三角形的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰或直角三角形

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6. 如图，在有五个正方形拼接而成的图形中， $\overset{⇀}{A M} = 2 \overset{⇀}{M D}$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（）

A、α，β都平行于直线a B、α内存在不共线的三点到β的距离相等 C、l，m是α内的两条直线，且 $l / / β$ ， $m / / β$ D、l，m是两条异面直线，且 $l / / α$ ， $m / / α$ ， $l / / β$ ， $m / / β$

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8. 如图所示，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V$ ，其中 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，截去三棱锥 $A_{1} - A B C$ ，则剩余部分的体积为（）

A、 $\frac{1}{4} V$ B、 $\frac{2}{3} V$ C、 $\frac{3}{7} V$ D、 $\frac{3}{5} V$

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二、多选题

9. 第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板．美国数理统计学家瓦尔德（Wal，Abrahom）研究了返航轰炸机的中弹情况．他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置．图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击棕记．根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是（）

A、机头部分 B、机翼部分 C、机腹部分 D、尾翼部分

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10. 在下列向量组中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0 ， 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1 ， 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5 ， - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3 ， 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6 ， 8)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2 ， 3)$

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11. 从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（）

A、每个面都是直角三角形的四面体； B、每个面都是等边三角形的四面体； C、每个面都是全等的直角三角形的四面体； D、有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．

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12. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数的最小值为 $- \sqrt{2}$ ；
乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；
丙：该函数的一个零点为 $\frac{2 π}{3}$ ；
丁：该函数图象可以由 $y = s i n 2 x + c o s 2 x$ 的图像平移得到．
如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（）

A、乙一定是假命题． B、φ的值可唯一确定 C、函数f（x）的极大值点为 $k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ D、函数f（x）图像可以由 $y = c o s (x - \frac{π}{6})$ 图像伸缩变换得到

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三、填空题

13. 设一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的平均数是3，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， …， $2 x_{n} + 1$ 的平均数为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， - 2)$ ， $\vec{c} = (- 4 ， 3)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ．则实数m的值为.

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15. 18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 $Ω$ 的统一体积公式 $V = \frac{1}{6} h (L + 4 M + N)$ （其中L，N，M，h分别为 $Ω$ 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为 $V = \frac{1}{6} \times 2 R (0 + 4 \times π R^{2} + 0) = \frac{4}{3} π R^{3}$ ；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为 $V = \frac{1}{6} \times h [0 + 4 \times {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}] = \frac{1}{3} a^{2} h$ ．类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为 $36 π c m^{2}$ ，若用距离球心O都为2cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体 $Π$ 的体积为 $c m^{3}$ ．

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16. 如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成

(1)、若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是（答案不唯一）．

(2)、若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是（答案不唯一）．

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四、解答题

17. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 2 C D$ ， $A D = \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $A B$ 长度；

(2)、求 $s i n ∠ B A D$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s x s i n x + s i n^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值和最小值．

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19. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ，点D是AB的中点．

(1)、求证： $B C_{1} ∥$ 平面 $C A_{1} D$ ；

(2)、若底面ABC边长为2的正三角形， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $B_{1} - A_{1} D C$ 的体积．

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20. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示

(1)、求出a的值；

(2)、求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(3)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．

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21. 数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：

(1)、用向量方法证明： $△ A B C$ 三条中线 $A D ， B E ， C F$ 交于一 $G$ 点（称为三角形的重心）

(2)、设 $△ A B C$ 三顶点 $A ， B ， C$ 的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3})$ 求重心的坐标 $G$ .

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22. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2 \sqrt{2}$ ， $E ､ F$ 分别为 $P B ､ P D$ 的中点，平面 $A E F$ 与棱 $P C$ 的交点为 $G$ .

(1)、求异面直线 $A E$ 与 $P F$ 所成角的大小；

(2)、求平面 $A E G F$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的大小；

(3)、求点 $G$ 的位置.

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