广东省湛江市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（）

A、32 B、33 C、64 D、66

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2. 已知集合 $A = {x | y = l o g_{2} (x + 1)}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x - 3 \leq 0}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $(- 1 ， 3]$

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3. 若直线l与平面α相交，则（）

A、平面α内存在直线与l异面 B、平面α内存在唯一一条直线与l平行 C、平面α内存在唯一一条直线与l垂直 D、平面α内的直线与l都相交

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4. 复数 $z = \frac{i}{2 + i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $s i n A = \frac{1}{3} ， B = \frac{π}{6} ， A C = 3$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，“ $A > B$ ”是“ $\sin A > \sin B$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 设 $a = l o g_{0.3} 2$ ， $b = l o g_{0.3} 3$ ， $c = 3^{0.3}$ ， $d = 0 . 3^{3}$ ，则这四个数的大小关系是（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $b < a < d < c$ C、 $b < a < c < d$ D、 $d < c < a < b$

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8. 如图，角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，角 $β = α + \frac{2 π}{3}$ 的始边与角 $α$ 的始边重合，且终边与单位圆交于点 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，记 $f (α) = y_{1} - y_{2}$ .若角 $α$ 为锐角，则 $f (α)$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$

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二、多选题

9. 下列函数为偶函数且在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = l o g_{2} | x |$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 1$ C、 $f (x) = 2 x + 2^{x}$ D、 $f (x) = x^{2} + | x |$

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10. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $1 - 2 s i n^{2} 15 °$ B、 $2 s i n 15 ° c o s 15 °$ C、 $\frac{\sqrt{3} - t a n 15 °}{2 + 2 \sqrt{3} t a n 15 °}$ D、 $2 c o s^{2} 60 ° - 1$

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11. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{b} = (c o s α ， s i n α)$ ， $α \in [0 ， \frac{π}{2})$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $| \vec{b} | = 1$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $α = \frac{π}{6}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为2 D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E$ ， $F$ ，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A C ⊥ A F$ B、 $E F ∥$ 平面 $A B C D$ C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、 $△ A E F$ 的面积与 $△ B E F$ 的面积相等

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三、填空题

13. 若 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x}}$ ，则 $f (- 3) =$ .

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14. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.

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15. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是单位圆 $O$ 上的三点，且 $\vec{O A} = \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ .

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16. 对实数 $a$ 、 $b$ 定义一个运算： $a \oplus b = {\begin{array}{l} a a - b \leq 1 \\ b a - b > 1 \end{array}$ ，设函数 $f (x) = (x^{2} - 2) \oplus (x - x^{2})$ （ $x \in R$ ），若函数 $y = f (x) - c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 1)$ ， $t \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} - t \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求实数 $t$ ；

(2)、求 $| \vec{a} + t \vec{b} |$ 的最小值及相应的 $t$ 值.

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18. 已知 $f (x) = s i n (π - 2 x) + s i n (\frac{π}{2} + 2 x)$ .

(1)、化简 $f (x)$ 并求函数 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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19. 移动支付为人民群众的生活带来极大的方便.为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：
支付次数 $x$
$0 \leq x \leq 15$
$15 < x \leq 30$
$30 < x \leq 45$
$45 < x \leq 60$
$x > 60$
人数
$a$
30
25
$b$
10
已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为S.已知____.从① $2 a s i n C = c t a n A$ ， ② $2 a c o s B = 2 c - b$ ， ③ $4 S = \sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ 三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

(1)、求角A的大小；

(2)、若边长 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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21. 四棱锥 $A - B C D E$ 的侧面 $A B C$ 是等边三角形， $E B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B E = 1$ ， $B C = C D = 2$ ， $F$ 是棱 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求四棱锥 $A - B C D E$ 的体积.

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22. 已知函数 $f (x) = | x | (x - a)$ .其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ 上的最小值.

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支付次数 $x$	$0 \leq x \leq 15$	$15 < x \leq 30$	$30 < x \leq 45$	$45 < x \leq 60$	$x > 60$
人数	$a$	30	25	$b$	10