广东省韶关市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ $B = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1 ， 0}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 3 ， 4)$ ，则 $t a n (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 设 $a = e^{π}$ ， $b = s i n π$ ， $c = l g 0.5$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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4. 某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（）

A、20 B、22 C、24 D、26

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5. 若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数 $I = M s i n (ω t + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则（）

A、 $ω = 100 π$ ， $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 100 π$ ， $φ = \frac{π}{3}$ C、 $ω = 200 π$ ， $φ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 200 π$ ， $φ = \frac{π}{3}$

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6. 下列说法错误的是（）

A、若 $\frac{1}{a} < 1$ ，则 $a < 0$ 或 $a > 1$ B、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 C、若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $y = s i n^{2} α + \frac{2}{s i n^{2} α}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、函数 $y = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $[1 ， \sqrt{2}]$

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7. 如图，在等腰梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A B = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， E为BC边上一点，且满足 $B E = 2 C E$ ，若 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 4$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、-4 B、-8 C、4 D、8

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8. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则过B、E、 $D_{1}$ 三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（）

A、5 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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二、多选题

9. 已知i是虚数单位，若复数z满足 $z (3 - i) = 3 + i$ ， $\bar{z}$ 是复数z的共轭复数，则（）

A、z的虚部是 $\frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $| z | = 1$ D、复数z在复平面上对应的点在第一象限

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10. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的有（）

A、若 $l ∥ α$ ， $m ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ， $l \subset β$ ，则 $l ∥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x + 1 ， x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则（）

A、 $f (- 1) = - 2$ B、若 $f (a) = 1$ ，则 $a = 0$ 或 $a = 2$ C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 的值域为 $[1 ， 3]$

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12. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连接 $B_{1} C$ 和 $B_{1} D$ ， N为 $B_{1} D$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} M C ⊥$ 平面AMCD B、线段CN的长为定值 C、当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积为 $12 π$ D、二面角 $B_{1} - A D - M$ 的最大值为30°

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三、填空题

13. 已知 $s i n θ = \frac{3}{5}$ ， $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s θ =$ ．

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14. 已知 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量是（用坐标表示）．

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15. 如图，平面四边形ABCD中，已知 $C D = 3$ ， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C = ∠ A C D = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则边AB的长为．

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16. 已知一组样本数据分为甲、乙两小组，其中，甲小组有10个数，其平均数为60，方差为200；乙小组有40个数，其平均数为70，方差为300，则这组样本的平均数为，方差为．

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四、解答题

17. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别是AB， $A A_{1}$ 的中点．

(1)、求直线 $B_{1} E$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值；

(2)、求三棱锥 $D - B_{1} E F$ 的体积．

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18. 为弘扬我国优秀传统文化，某校组织了高一年级学生进行这方面的知识测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求图中a的值；

(2)、试估计高一级本次知识测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、该校准备对本次知识测试成绩优秀（将成绩从高到低排列，排在前15%的为优秀）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？（结果保留一位小数）

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19. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， s i n x)$ ， $\vec{b} = (1 ， c o s x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\frac{2 c o s^{2} x - s i n 2 x}{s i n x \cdot c o s x}$ 的值．

(2)、设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，现将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域．

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现给出两个条件：
① $a c o s C = (2 b - c) c o s A$ ；
② $t a n A + t a n B + t a n C - \sqrt{3} t a n B t a n C = 0$ ．
要求你从中选出一个条件，并以此为依据解下面问题：

(1)、求A的值；

(2)、若 $b = 2$ ， D为BC中点，且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，侧面 $S A B ⊥$ 底面ABCD， $B C = 3$ ， $A D = 1$ ， M是棱SB上靠近点S的一个三等分点．

(1)、求证：平面 $S B C ⊥$ 平面SAB；

(2)、求证： $A M / /$ 平面SCD；

(3)、若△SAB是边长为2的等边三角形，求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值．

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22. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为 $R$ ，且 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；
② $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；
③ $f (x) + g (x) = e^{x}$ （常数 $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ ）．
利用上述性质，解决以下问题：

(1)、求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)、证明：对任意实数 $x$ ， ${[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}$ 为定值；

(3)、已知 $m \in R$ ，记函数 $y = 2 m \cdot g (2 x) - 4 f (x)$ ， $x \in [0 ， l n 2]$ 的最小值为 $φ (m)$ ，求 $φ (m)$ ．

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