广东省汕头市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {y | y = 2 x - 1, x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. $\frac{2 i}{i - 1} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ $α$ ⊥ $β$ ”是“ $m$ ⊥ $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列区间中，函数f(x)=7sin( $x - \frac{π}{6}$ )单调递增的区间是（）

A、(0， $\frac{π}{2}$ ) B、( $\frac{π}{2}$ ， $π$ ) C、( $π$ ， $\frac{3 π}{2}$ ) D、( $\frac{3 π}{2}$ ， $2 π$ )

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5. 函数 $f (x) = x \cdot c o s x$ 的部分图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $y = s i n (x + \frac{π}{3}) s i n (x + \frac{π}{2})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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7. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为 $2 \sqrt{6}$ 的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{5} π$ B、 $(8 + 6 \sqrt{3}) π$ C、 $10 \sqrt{3} π$ D、 $(10 + 4 \sqrt{5}) π$

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8. 一个容器装有细沙 $a c m^{3}$ ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， $t m i n$ 后剩余的细沙量为 $y = a e^{- b t} (c m^{3})$ ，经过8 $m i n$ 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（）.

A、24 $m i n$ B、26 $m i n$ C、8 $m i n$ D、16 $m i n$

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二、多选题

9. 维生素 $C$ 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每 $100$ 克维生素 $C$ 的含量（单位： $m g$ ），得到数据如下.则下列说法不正确的是（   ）
猕猴桃102  104  106  107  113  116  119  121 132 134
柚子 109  113  114  116  117  121  121  122  131  132

A、每100克柚子维生素 $C$ 含量的众数为121 B、每100克柚子维生素 $C$ 含量的75%分位数为121 C、每100克猕猴桃维生素 $C$ 含量的平均数高于每100克柚子维生素 $C$ 含量的平均数 D、每100克猕猴桃维生素 $C$ 含量的方差高于每100克柚子维生素 $C$ 含量的方差

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{5} (x^{2} - 2 x - 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[1 ， + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是R C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 D、不等式 $f (x) < 1$ 的解集是 $(- 2 ， - 1) \cup (3 ， 4)$

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11. 已知向量 $\vec{a} = (s i n α ， c o s α)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）.

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t a n α = 2$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n α = - 2$ C、若 $f (α) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 取得最大值，则 $t a n α = \frac{1}{2}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| \sin x |} + \sqrt{| \cos x |}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象必有对称轴 C、 $f (x)$ 的增区间为 $[k π ， k π + \frac{π}{2}] ， k \in Z$ D、 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， \sqrt[4]{8}]$

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三、填空题

13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

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14. 已知正实数a，b满足 $a b = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知 $x = l n π$ ， $y = l o g_{5} 2$ ， $z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 从小到大的顺序为.

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16. 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a^{x} - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）满足 $f (1) + f (2) = - \frac{14}{9}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、解不等式 $f (x) > 2$ .

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18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在30条鱼的样本中发现的汞含量（单位：ppm）如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31

(1)、因为样本数据的极差为 $2.10 - 0.07 = 2.03$ ，所以取区间为 $[0.03 ， 2.13]$ ，组距为0.3，请把频率分布表补充完整；

(2)、请把频率分布直方图补充完整；

(3)、求得上述样本数据的平均数为1.08和标准差为0.45，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？

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19. 如图，已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是底面为正方形的长方体， $∠ A D_{1} A_{1} = 60 °$ ， $A D_{1} = 4$ ，点 $P$ 是 $A D_{1}$ 上的动点.

(1)、当 $P$ 为 $A D_{1}$ 的中点时，求异面直线 $A A_{1}$ 与 $B_{1} P$ 所成的角的余弦值；

(2)、求 $P B_{1}$ 与平面 $A A_{1} D_{1}$ 所成角的正切值的最大值.

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20. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为 $5 n m i l e$ ，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5} n m i l e$ . $∠ B A D$ 为钝角，且 $s i n A = \frac{3}{5}$ .

(1)、求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

(2)、记 $∠ B D C$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $s i n (2 α + β)$ 的值.

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21. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点， $D E$ 与 $A C$ 相交于点 $H$ ，现将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，点 $D$ 的位置记为 $D^{'}$ ，此时 $E D^{'} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ ， $M$ 是 $A D^{'}$ 的中点.

(1)、求证： $B M / /$ 平面 $D^{'} H E$ ；

(2)、求证： $C H ⊥$ 面 $D^{'} H E$ ；

(3)、求二面角 $H - E D^{'} - C$ 的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a | x | + b$ ， $g (x) = c o s 2 x + (2 a - 1) c o s x + 1 - a (a ， b \in R)$

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、若 $a = 1 ， x \in [0 ， π]$ ，求 $g (x)$ 的最小值和最大值；

(3)、定义 $m i n {x ， y} = {\begin{array}{l} x ， x \leq y \\ y ， x > y \end{array}$ ，设 $h (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ .若 $h (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.

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