广东省梅州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $z = \frac{3 + i}{i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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2. 某高中开展学生视力水平的调查活动，已知该校高一年级有学生1050人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生950人，现需要从全校学生中用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则应从高一学生中抽取的人数为（）

A、30 B、33 C、35 D、36

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3. 已知 $A (m ， 0) ， B (0 ， 1) ， C (3 ， - 1)$ ，且 $A ， B ， C$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 如图， $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知 $O^{'}$ 为坐标原点，顶点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则 $O^{'} B^{'}$ 的长度为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，某运动选手从男子500米、男子1000米、男子1500米、男子5000米接力、混合团体2000米接力5项中等可能的选3项参赛，则该选手没有选择男子5000米接力的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 设m，n是空间中两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m \subset α ， n \subset β ， α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α ， n / / β ， α ⊥ β$ ．则 $m ⊥ n$ D、若 $m \subset α ， n \subset β ， m / / n$ ，则 $α / / β$

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7. 已知圆锥的侧面展图为一个半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为（）

A、 $1 ： 9$ B、 $1 ： 8$ C、 $1 ： 4$ D、 $1 ： 3$

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8. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件 $A =$ “ $x + y = 7$ ”，事件 $B =$ “ $x y$ 为奇数”，事件 $C =$ “ $x > 3$ ”，则下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 对立 B、 $P (B C) = \frac{1}{6}$ C、 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $C$ 相互独立

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二、多选题

9. 下图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：
根据统计图，下列结论正确的是（）

A、异地快递量逐月递增 B、同城快递量，9月份多于10月份 C、同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同 D、同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同

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10. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （本题中 $e$ 为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

A、 $e^{i π} + 1 = 0$ B、复数 $e^{2 i}$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{θ i} (θ \in R)$ 在复平面内对应的点的轨迹是圆

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11. 在△ABC中，下列正确的是（）

A、若 $\vec{A C} \cdot \vec{B A} < 0$ ，则△ABC为钝角三角形 B、若 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ，则△ABC为直角三角形 C、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则△ABC为等腰三角形 D、已知 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ，则△ABC为等边三角形

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12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为 $C C_{1}$ 的中点，点P为正方形 A₁B₁C₁D₁ 上的动点，则（）

A、满足MP//平面 $B D A_{1}$ 的点P的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、满足 $M P ⊥ A M$ 的点P的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、存在点P，使得平面AMP经过点B D、存在点P满足 $P A + P M = 5$

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三、填空题

13. 某班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩（单位：分）分别为：80，68，90，70，88，96，89，98，则该数学成绩的第80百分位数为．

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14. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ， $\vec{a} = (2 ， 0) ， | \vec{b} | = 1$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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15. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C､D两点，在C､D处测得旗杆的仰角分别为 $4 5^{∘} ， 3 0^{∘}$ ，在水平面上测得 $∠ B C D = 12 0^{∘}$ 且C，D的距离为15米，则旗杆的高度为米．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，且 $A D = 2 D C$ ， $B D = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = \frac{2 + 4 m i}{1 - i} (m \in R)$ ， i是虚数单位）．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求m的值和 $| z |$ ；

(2)、设 $\bar{z}$ 是z的共轭复数，复数 $\bar{z} - 2 z$ 在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = 3 ， A D = 2 ， ∠ B A D = 6 0^{∘}$ ，点E，F分别落在边BC，CD上，且 $\frac{B E}{B C} = \frac{D F}{D C} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、以 ${\vec{A B} ， \vec{A D}}$ 为基底分别表示 $\vec{A E}$ ， $\vec{E F}$ ；

(2)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{E F}$ 的值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形， $A B = 6$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $P A = 5$ ，点E、F分别为棱PD、AB的中点．

(1)、证明：AE//平面PCF；

(2)、求三棱锥 $E - P C F$ 的体积．

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20. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $2 a - b$ 的取值范围．

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21. 如图1，在平行四边形ABCD中， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， AD＝2，AB＝4，将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P，如图2

(1)、证明：BD⊥平面PAD；

(2)、当二面角 $D - P A - B$ 的平面角的正切值为 $\sqrt{6}$ 时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．

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22. 梅州市沙田柚根据色泽、果面、风味等评分指标打分，得分在区间（0，25]，（25，50]，（50，75]，（75，100]内分别评定为三级柚、二级柚、一级柚，特级柚，某经销商从我市柚农手中收购一批沙田柚，共M袋（每袋50kg），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：

(1)、求a的值，并用样本估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分；

(2)、该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：
方案1：将采购的这批沙田柚不经检测，统一按每袋350元直接售出；
方案2：将采购的这批沙田柚逐袋检测分级，并将每袋沙田柚重新包装成5小袋（每小袋10kg），检测分级所需费用和人工费平均每袋20元，各等级沙田柚每小袋的售价和包装材料成本如下表所示：
沙田柚等级
三级
二级
一级
特级
售价（元/小袋）
55
68
85
98
包装材料成本（元/小装）
2
2
4
5
假设这批沙田柚各级比例按前面随机抽取的20袋的样本结果估计，并可以全部销售出去，那么该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？请通过计算说明理由．

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沙田柚等级	三级	二级	一级	特级
售价（元/小袋）	55	68	85	98
包装材料成本（元/小装）	2	2	4	5