广东省揭阳市普宁市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2}{1 + 3 i}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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2. 如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（）

A、平行 B、相交 C、是异面直线 D、可能相交，也可能是异面直线

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3. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B、讲座后问卷答题的正确率的中位数大于85% C、讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D、讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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4. 已知m，n，l是三条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m ⊥ l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ C、若 $m ∥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $m ∥ γ$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ m$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $c o s B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 若随机事件 $A ， B$ 满足 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ， $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、互斥 B、相互独立 C、互为对立 D、互斥且独立

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30 °$ ，则（）

A、 $A B = 2 A D$ B、AB与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成的角为 $30 °$ C、 $A C = C B_{1}$ D、 $B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $45 °$

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8. 如图，在△ABC中， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ ， BE交CF于点P， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (- 1 + i) i$ （i为虚数单位），对于复数 $z$ 的以下描述，正确的有（）

A、 $| z | = 2$ B、 $z^{2} = 2 i$ C、 $z$ 的共轭复数为 $1 + i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限

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10. 已知点O，N在△ABC所在平面内，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ， $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ，则点O，N分别是△ABC的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）

A、若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ B、若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为 $\frac{3}{10}$ C、若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为 $\frac{1}{2}$ D、若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为 $\frac{18}{125}$

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12. 在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中， $A A_{1} = 2$ ，点P在线段 $B C_{1}$ 上运动，点Q在线段 $A A_{1}$ 上运动，则下列说法中正确的有（）

A、当P为 $B C_{1}$ 中点时，三棱锥P- $A B B_{1}$ 的外接球半径为 $\sqrt{2}$ B、线段PQ长度的最小值为2 C、三棱锥 $D_{1}$ -APC的体积为定值 D、平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{a}$ 的单位向量的坐标是.

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14. 为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取人.

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15. 正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是

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16. 某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知 $E$ 车周四限行， $B$ 车昨天限行，从今天算起， $A$ ， $C$ 两车连续四天都能上路行驶， $E$ 车明天可以上路，由此可推测出今天是星期.

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1)$

(1)、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a c o s B + b c o s A = \sqrt{2} c c o s C$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $b = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为6，求c的值．

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19. 圆柱 $O P$ 如图所示， $A C$ 为下底面圆的直径， $D E$ 为上底面圆的直径， $B D ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = 2$ ， $A D = A E$ ， $A C = B D$ .

(1)、证明： $B P ∥$ 面 $A E C$ .

(2)、求圆柱 $O P$ 的体积.

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20. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
质量指标值
$[25 ， 35)$
$[35 ， 45)$
$[45 ， 55)$
$[55 ， 65)$
$[65 ， 75)$
$[75 ， 85)$
$[85 ， 95)$
产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计产品的某项质量指标值的70百分位数.

(2)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；

(3)、设 $[x]$ 表示不大于x的最大整数， ${x}$ 表示不小于x的最小整数，s精确到个位， $a_{n} = 5 \cdot {\frac{\bar{x} - n s}{5}}$ ， $b_{n} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + n s}{5}]$ ， $n \in N^{*}$ ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在 $[a_{1} ， b_{1}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在 $[a_{2} ， b_{2}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： $\sqrt{171} \approx 13$ ， $\sqrt{241} \approx 16$ ）

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21. 下图，直线 $D E$ 与 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ .设 $A B = c$ ， $B C = a$ ， $C A = b$ ， $∠ A D E = θ$ ，请用向量方法证明： $a \cdot c o s (B - θ) + b \cdot c o s (A + θ) = c \cdot c o s θ$ .

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22. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄 $O$ 为吸引游客，准备在门前两条小路 $O A$ 和 $O B$ 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ，弓形花园的弦长 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，记弓形花园的顶点为 $M$ ， $∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ O B A = θ$ .

(1)、将 $| O A |$ 、 $| O B |$ 用含有 $θ$ 的关系式表示出来；

(2)、该山庄准备在 $M$ 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计 $O A$ 、 $O B$ 的长度，才使得喷泉 $M$ 与山庄 $O$ 的距离的值最大？

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质量指标值	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$	$[75 ， 85)$	$[85 ， 95)$
产品	60	100	160	300	200	100	80