广东省广州市越秀区2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $3 x^{2} - x - 2 \geq 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - \frac{2}{3} \leq x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{2}{3}}$ C、 ${x | x \leq - \frac{2}{3} 或 x \geq 1}$ D、 ${x | x \leq - 1 或 x \geq \frac{2}{3}}$

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2. 设 $a = 2^{0.7} ， b = {(\frac{1}{2})}^{0.8} ， c = l o g_{0.7} 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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3. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、-1 C、 $i$ D、1

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4. $α ， β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ n ， m ⊄ α ， n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $α / / β ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α ⊥ β ， n \subset α$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α ， n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$

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5. 已知 $△ A B C$ 中，点M是线段 $B C$ 的中点， $\vec{A N} = \frac{1}{4} \vec{A M}$ ，则 $\vec{B N} =$ （）

A、 $- \frac{7}{8} \vec{A B} + \frac{1}{8} \vec{A C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{12} \vec{A C}$ C、 $- \frac{7}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{12} \vec{A C}$

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6. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， \vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 如图：已知正四面体 $A B C D$ 中E在棱 $C D$ 上， $E C = 2 D E$ ， G为 $△ A B C$ 的重心，则异面直线 $E G$ 与 $B D$ 所成角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 平面四边形 $P A B C$ 中， $∠ A P C = \frac{2 π}{3} ， A B = 2 ， A C = 2 \sqrt{3} ， A C ⊥ A B$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 最小值（）

A、-2 B、-1 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体有健康测试，则应抽取男生6人 B、某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正而朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6 C、一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2 D、某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为2

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10. 下列结论正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量为 $(\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ 或 $(- \frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ B、已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、已知i为虚数单位，若 $1 - i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p \cdot q = - 4$ D、已知 $a \in R$ ， i为虚数单位，若复数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数，则 $a = \pm 1$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、若 $x \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ C、若 $f (α) = 1$ ，则 $c o s^{2} (α + \frac{π}{12}) = \frac{1}{4}$ D、若 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = 4 ， x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$

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12. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为菱形， $A B = S D = 3 ， ∠ D A B = 60 °$ ， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， P是 $S C$ 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（）

A、若 $S A / /$ 平面PBD，则 $S A / / P O$ B、B到平面 $S A C$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、当P为 $S C$ 中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D、当P为 $S C$ 中点时， $D P + P B$ 有最小值

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三、填空题

13. 已知 $\vec{A B} = (4 ， - 4) ， \vec{B C} = (- 3 ， 2) ， \vec{A D} = (- 1 ， m)$ ，若A、C、D三点共线，则 $m =$ ．

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14. 某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为．

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15. 已知S为圆锥的顶点，O为底面圆心， $S O = 2 \sqrt{3}$ ．若该圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为．

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16. 某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 挖去正四棱台 $A B C D - E F G H$ 后所得的几何体，其中 $A B = 2 E F = 2 B F ， A B = B C = 6 c m ， A A_{1} = 4 c m$ ，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属 $2 m g$ ，不考虑损耗，所需金属膜的质量为 $m g$ ．

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四、解答题

17. 在① $b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$ ， ② $(a - c) s i n C = (a - b) (s i n A + s i n B)$ ， ③ $2 S_{△ A B C} = \sqrt{3} \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在 $△ A B C$ 中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且____．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 周长．

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18. 为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．

(1)、求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；

(2)、现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；

(3)、现知道直方图中成绩在 $[130 ， 140)$ 内的平均数为136，方差为8，在 $[140 ， 150]$ 内的平均数为144，方差为4，求成绩在 $[130 ， 150]$ 内的平均数和方差．

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A A_{1} = 3$ ，且D为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $B_{1} C D$ ；

(2)、求 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值．

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20. 2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两公可都研发成功的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为 $\frac{1}{5}$ ，各公司是否研发成功互不影响．

(1)、求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；

(2)、若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．

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21. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = \frac{π}{2} ， A B = 1 ， ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、若 $B C = 2 ， C D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $∠ A D C = \frac{π}{6} ， A D = 2$ ，求 $c o s ∠ A C D$ ．

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ， O是 $A D$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P O B$ ；

(2)、点M在棱 $P C$ 上，满足 $P M = λ P C (0 < λ > 1)$ ，且三棱锥 $P - A B M$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $λ$ 的值及二面角 $M - A B - D$ 的正切值．

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