广东省广州市三校联考2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x \in Z | - 2 < x < 1} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 $(- 2 ， 1] ∪ {2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 设i为虚数单位，若复数 $(1 - i) (1 + a i)$ 是实数，则实数a的值为（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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3. 已知 $t a n (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n (\frac{π}{3} + 2 α)$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $A = 4 5^{∘} ， B = 6 0^{∘} ， B C = 3 \sqrt{2}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m / / n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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6. 锐角 $△ A B C$ 中，内角A､B､C的对边分别为a，b，c，S为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，则b的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， 4)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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7. 已知实数 $a ， b \in (1 ， + \infty)$ ，且 $l o g_{2} a + l o g_{b} 3 = l o g_{2} b + l o g_{a} 2$ ，则（）

A、 $a < \sqrt{b} < b$ B、 $\sqrt{b} < a < b$ C、 $b < \sqrt{a} < a$ D、 $\sqrt{a} < b < a$

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8. 如图（1）所示，已知球的体积为 $36 π$ ，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）

A、CD与BE是异面直线 B、异面直线AB与CD所成角的大小为45° C、由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 $3 π$ D、球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 $3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

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二、多选题

9. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170 $c m$ ，方差为17 $c m^{2}$ ；女生身高样本均值为160 $c m$ ，方差为30 $c m^{2}$ .下列说法中正确的是（）

A、男生样本容量为30 B、每个女生被抽入到样本的概率均为 $\frac{2}{5}$ C、所有样本的均值为166 $c m$ D、所有样本的方差为46.2 $c m^{2}$

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10. 2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有（）

A、受疫情影响，1~2月份社会消费品的零售总额明显下降 B、社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓 C、与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大 D、与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大

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11. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连接 $B_{1} C$ 和 $B_{1} D$ ， N为 $B_{1} D$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} M C ⊥$ 平面AMCD B、线段CN的长为定值 C、当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积为 $12 π$ D、二面角 $B_{1} - A D - M$ 的最大值为30°

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，P是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论中正确的是（）

A、 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ C、当P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $B_{1} - A C P$ 的体积不变 D、以点B为球心， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的球面与面 $A B_{1} C$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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三、填空题

13. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数 $\frac{\sqrt{2} i}{e^{\frac{π}{4} i}}$ 的共轭复数为．

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14. 如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，已知 $A^{'} C^{'} ∥ y^{'}$ 轴， $B^{'} C^{'} ∥ x^{'}$ 轴且 $2 A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 3$ ，点P为边BC上的一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为.

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16. 如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且 $\frac{A_{1} B_{1}}{A B} = \frac{1}{2}$ ．设E、F、G分别是棱 $A B 、 B C 、 C_{1} D_{1}$ 的中点，过E、F、G的平面与 $A A_{1}$ 交于点H，则 $\frac{A H}{A A_{1}}$ 值为；若四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 在复平面 $x O y$ 内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数 $z_{1}$ ，向量 $\vec{B C}$ 对应的复数 $z_{2}$ ， $2 \bar{z_{1}} + 3 i = 2 - i$ ， $z_{2} = \frac{3 + i}{2 - i}$ .

(1)、求向量 $\vec{A C}$ 对应的复数；

(2)、若点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，则三角形 $P O Q$ 的面积为 $\frac{1}{2} | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$ .计算三角形 $A B C$ 的面积.

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18. “2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行、成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300．名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组： $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数；

(2)、若先用分层抽样的方法从评分在 $[90 ， 95)$ 和 $[95 ， 100]$ 的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：
①写出这个试验的样本空间；
②求这2人中至少有1人的评分在 $[95 ， 100]$ 概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， B C$ ∥平面 $P A D ， B C = \frac{1}{2} A D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， E是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $B C ∥ A D$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(3)、若M是线段 $C E$ 上任意一点，试判断线段 $A D$ 上是否存在点N，使得 $M N$ ∥平面 $P A B$ ？请说明理由．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $s i n^{2} B + s i n^{2} C = (s i n A + 6 s i n B s i n C) s i n A$ .

(1)、求 $t a n A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{5}$ ， $b = \sqrt{10}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1}$ 与 $A_{1} C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 都垂直，已知 $A B = 3$ ， $A_{1} A = A C = 5$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、直线 $A_{1} B$ 与底面 $A B C$ 所成的角的大小 $θ$ 为多少时，二面角 $A_{1} - A C - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ ？

(3)、在（2）的条件下，求点C到平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的距离．

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22. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + \frac{3 π}{2})$ 且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x) (x \in R)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“ $M$ 函数”.

(1)、试判断 $f (x) = s i n \frac{4 x}{3}$ 是否为“ $M$ 函数”，并说明理由；

(2)、函数 $f (x)$ 为“ $M$ 函数”，且当 $x \in [\frac{π}{4} ， π]$ 时， $f (x) = s i n x$ ，求 $y = f (x)$ 的解析式，并写出在 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上的单调递增区间；

(3)、在（2）的条件下，当 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{3 k π}{2} + π] (k \in N)$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ （ $a$ 为常数）有解，记该方程所有解的和为 $S (k)$ ，求 $S (3)$ .

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