广东省东莞市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位）在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为单位向量，它们的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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3. 已知树人中学高一年级总共有学生 $n$ 人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取 $\frac{n}{10}$ 名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则 $n =$ （）

A、1100 B、1000 C、900 D、800

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4. 复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，若 $1 \leq | z | \leq 2$ ，则点 $Z$ 的集合对应的图形的面积为（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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5. 已知某学校高一年级共有1000名学生，如图是该校高一年级学生某次体育测试成绩的频率分布直方图，则估计排名第200名的学生的体育测试成绩为（）

A、89分 B、88分 C、87分 D、86分

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6. 已知 $a$ ， $b$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $β ∥ α$ ，则 $a ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a ∥ α$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $a ∥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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7. 如图，在钝角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ， $A > \frac{π}{2}$ ，过点 $A$ 作与 $\vec{A C}$ 垂直的单位向量 $\vec{j}$ ，将 $\vec{j}$ 与向量表达式 $\vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$ 两边进行数量积的运算，即 $\vec{j} \cdot (\vec{A C} + \vec{C B}) = \vec{j} \cdot \vec{A B}$ ，化简后得到的结论是（）

A、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{c}{s i n C}$ B、 $\frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ C、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ D、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$

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8. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其它差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个小球，记事件 $A =$ “第一次摸出小球的标号小于3”，事件 $B =$ “第二次摸出小球的标号小于3”，事件 $C =$ “摸出的两个小球的标号之和为5”，事件 $D =$ “摸出的两个小球的标号之积小于4”，则（）

A、 $A$ 与 $D$ 相互独立 B、 $B$ 与 $C$ 相互独立 C、 $B$ 与 $D$ 相互独立 D、 $C$ 与 $D$ 相互独立

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a， $b$ ， c，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a < b s i n A$ B、 $a ≥ b s i n A$ C、 $a s i n B = b s i n A$ D、 $a s i n A = b s i n B$

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10. 已知共面的三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若存在唯一实数 $λ$ 使 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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11. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（）

A、中位数为3，众数为5 B、中位数为3，极差为3 C、中位数为1，平均数为2 D、平均数为3，方差为2

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12. 如图是一个正方体的侧面展开图， $A ， C ， E ， F$ 是顶点， $B ， D$ 是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（）

A、BF与 $A E$ 异面 B、 $B F / /$ 平面 $A C D$ C、平面 $C D F ⊥$ 平面ABD D、 $D E$ 与平面ABD所成的角的正弦值是 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 已知球的表面积为 $36 π$ ，则该球的体积为.

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14. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么游戏时“双方所出的手势不同”的概率为.

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15. 若四面体各棱的长是2或4，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能为（只需写出一个可能的值）

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16. 如图是正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O$ 是该正八边形的中心，P是正八边形 $A B C D E F G H$ 八条边上的动点.若 $O A = 2$ ，则该八边形的面积为， $\vec{O P} \cdot \vec{A B}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位）是方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 的根，其中 $p ， q$ 是实数

(1)、求 $p$ 和 $q$ 的值；

(2)、若 $(p + q i) \cdot (m^{2} + 2 m i)$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值

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18. 某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩 $[80 ， 100)$ ， $[100 ， 120)$ ， $[120 ， 140)$ ， $[140 ， 160)$ ， $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200]$ 分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表.记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”.
比赛成绩
$[80 ， 100)$
$[100 ， 120)$
$[120 ， 140)$
$[140 ， 160)$
$[160 ， 180)$
$[180 ， 200]$
人数
4
10
2
16
3
15

(1)、估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；

(2)、从样本比赛成绩在 $[120 ， 140)$ 和 $[160 ， 180)$ 的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率.

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19. 如图，在四边形 $O B C D$ 中， $\vec{O B} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{O D} = 2 \vec{O A}$ ， $∠ O = \frac{π}{2}$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{C D} | = 1$

(1)、用 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 表示 $\vec{B C}$ ；

(2)、点P在线段 $A C$ 上，且 $\vec{A C} = 3 \vec{A P}$ ，求 $\vec{B C}$ 与 $\vec{B P}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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20. 如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是圆 $O_{2}$ 的直径， $C D$ 和 $E F$ 分别是圆柱轴截面上的母线.

(1)、证明： $O_{1} D / /$ 平面 $A B F$ ；

(2)、若 $D E = E F = 4$ ， $A F = B F$ ，证明 $A B ⊥$ 平面 $C D E F$ ，并求点 $D$ 到平面 $A B F$ 的距离.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 b c o s C = 2 a - c$

(1)、求角B；

(2)、如图，若 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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22. 将一个边长为2的正六边形 $A B C D E F$ （图1）沿 $C F$ 对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面 $A B D E$ 是正方形.

(1)、求五面体（图2）中 $∠ F B E$ 的余弦值：

(2)、如图3，点 $G ， H$ 分别为棱 $A B ， E D$ 上的动点.
①求 $△ F G H$ 周长的最大值，并说明理由；
②当 $△ F G H$ 周长最大时，求平面 $F A E$ 与平面 $F G H$ 夹角的余弦值.

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比赛成绩	$[80 ， 100)$	$[100 ， 120)$	$[120 ， 140)$	$[140 ， 160)$	$[160 ， 180)$	$[180 ， 200]$
人数	4	10	2	16	3	15