广东省潮州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = 1 + i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、- $i$

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2. 若平面 $α$ ∥平面 $β$ ， $a \subset α ， b \subset β$ ，则直线 $a$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、平行或异面 B、相交 C、异面 D、平行

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3. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{A C})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{B C})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{B C})$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (k - 1 ， k)$ ， $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、-1

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5. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 $10 = 3 + 7$ .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $a = 6$ ， $b = 4$ ， $A = 120 °$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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7. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4， $x$ ， 7，8（其中 $x \neq 7$ ），若该组数据的中位数是众数的 $\frac{5}{4}$ 倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（）

A、 $\frac{16}{3}$ ， 5 B、5，5 C、 $\frac{16}{3}$ ， 6 D、5，6

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则（）

A、异面直线AP与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ B、二面角 $B_{1} - C D - B$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ C、三棱锥 $P - D_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 D、直线 $B D ⊥$ 平面 $A_{1} D_{1} D$

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二、多选题

9. 已知 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，下列命题为真命题的有（）

A、 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β \Rightarrow α / / β$ B、 $m / / n$ ， $n \subset α \Rightarrow m / / α$ C、 $m ⊥ α$ ， $m \subset β \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α \Rightarrow m / / n$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内点，满足 $x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} = 0$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $x = a$ ， $y = b$ ， $z = c$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $x = a$ ， $y = b$ ， $z = c$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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三、填空题

11. 在某次合格性考试中，甲､乙两人通过的概率分别为0.9和0.7，两人考试相互独立，则两人都通过的概率为.

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12. 若一个球的直径为6，则该球的表面积为.

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13. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B = A D$ ， E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为.

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14. 三元塔是潮州市的历史文化古迹如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A，B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45°，30°，且A，B两点相距 $50 \sqrt{7} m$ ， $∠ A D B$ 为150°，则三元塔的高度 $C D =$ $m$ .

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四、解答题

15. 已知复数 $z_{1} = 1 + a i$ （其中 $a \in R$ 且 $a < 0$ ， $i$ 为应数单位），且 $z_{1}^{2}$ 为纯虚数.

(1)、求实数a的值；

(2)、若 $z_{2} = \frac{z_{1}}{1 + i} + 2$ ，求复数 $z_{2}$ 的模 $| z_{2} |$ .

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16. 已知向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ .

(1)、求 $\frac{1}{2} \vec{b} \cdot (\frac{3}{2} \vec{b} - \vec{a})$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量.

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c s i n B - \sqrt{3} b c o s C = 0$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、若选择方案一，求甲获胜的概率；

(2)、用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A A_{1} ⊥ B C$ ， $A_{1} B ⊥ B B_{1}$ ，

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ C C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， A C = \sqrt{3} ， B C = \sqrt{7}$ ，问 $A A_{1}$ 为何值时，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积最大，并求此最大值.

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