高中数学人教A版（2019）必修一 3.3 幂函数

试卷更新日期：2022-08-01 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、9 C、27 D、81

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2. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 - m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数，则实数 $m$ 的值为（）

A、1或-3 B、3 C、-1 D、-1或3

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3. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{2 m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数m的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、-2或1

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4. 函数 $y = x^{\frac{4}{3}}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是幂函数 $y = x^{α}$ 的部分图象，已知α取 $\frac{1}{2}$ ，2， $- 2$ ， $- \frac{1}{2}$ 这四个值，则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 相应的α依次为（）

A、2， $\frac{1}{2}$ ，- $\frac{1}{2}$ ，-2 B、-2，- $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，2 C、- $\frac{1}{2}$ ，2，-2， $\frac{1}{2}$ D、2， $\frac{1}{2}$ ，-2，- $\frac{1}{2}$

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6. 已知幂函数 $y_{1} = x^{a} ， y_{2} = x^{b} ， y_{3} = x^{c} ， y_{4} = x^{d}$ 在第一象限的图象如图所示，则（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $b > c > d > a$ C、 $d > b > c > a$ D、 $c > b > d > a$

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7. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m^{2} - 6}$ 是幂函数，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、等于0 D、无法判断

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二、多选题

8. 已知函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2} ， 2)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象经过点（2，4） B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内的值域为 $(0 ， + \infty)$

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9. 若函数 $f (x) = (3 m^{2} - 10 m + 4) x^{m}$ 是幂函数，则 $f (x)$ 一定（）

A、是偶函数 B、是奇函数 C、在 $x \in (- \infty ， 0)$ 上单调递减 D、在 $x \in (- \infty ， 0)$ 上单调递增

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三、填空题

10. 已知幂函数 $f (x) = m x^{n}$ 的图像过点 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{16})$ ，则 $m n =$ .

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11. 若函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 是幂函数，且是偶函数，则m＝.

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12. 已知幂函数 $f (x) = (t^{2} - t - 1) x^{t}$ 为定义域上的奇函数，则 $t =$ .

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13. 函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 1}$ 是幂函数，且在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a - 3) x^{a}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 为增函数，则实数 $a$ 的值为.

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15. 已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in {- 2 ， - 1 ， \frac{1}{2} ， 1 ， 3})$ 为奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $α =$ ．

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四、解答题

16. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\sqrt{2} ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 满足条件 $f (2 - a) > f (a - 1)$ ，试求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $P (2 ， 4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、证明：函数 $g (x) = f (x) + \frac{2}{x}$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递减．

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