距离型定值问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破(全国通用)

试卷更新日期:2022-07-31 类型:一轮复习

一、解答题

  • 1. 在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-3 , 0),F23 , 0),点M满足|MF1|+|MF2|=4 , 记M的轨迹为C.以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆,圆T与轨迹C在第一象限交于点A,在第二象限交于点B.
    (1)、求C的方程;
    (2)、求TATB的最小值,并求出此时圆T的方程;
    (3)、设点P是轨迹C上异于A,B的一点,且直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,O为坐标原点,求证:|OM||ON|为定值.
  • 2. 已知椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32 , 左、右焦点分别为曲线y=2x26与x轴的两个交点.
    (1)、求C的方程;
    (2)、点P是圆Ox2+y2=a2+b2上的动点,过点P作C的两条切线,两条切线与圆O分别交于点A,B(异于P),证明:|AB|为定值.
  • 3. 在直角坐标系xOy中,长为3的线段AB的两端点A,B分别在x,y轴上滑动,动点M满足AM=2MB
    (1)、求动点M的轨迹E的方程;
    (2)、设过点N(0t)的动直线l与(1)中的轨迹E交于C,D两点,是否存在定实数t,使得1|NC|2+1|ND|2为定值?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
  • 4. 设AB分别为椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,设M(01)是椭圆下顶点,直线MAMB斜率之积为14
    (1)、求椭圆C的标准方程;
    (2)、若一动圆的圆心Q在椭圆上运动,半径为255 . 过原点O作动圆Q的两条切线,分别交椭圆于EF两点,试证明|OE|2+|OF|2为定值.
  • 5. 已知椭圆Ex2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1F2 , 离心率e=22P为椭圆上一动点,PF1F2面积的最大值为2.
    (1)、求椭圆E的方程;
    (2)、若C,D分别是椭圆E长轴的左、右端点,动点M满足MDCD , 连接CM交椭圆于点N , C为坐标原点.证明:OMON为定值.
  • 6. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63 , 以椭圆C的右顶点A为圆心,作半径为r的圆(x3)2+y2=r2 , 设圆A与椭圆C交于点E,F.
    (1)、求AEAF的最小值,并求此时圆A的方程;
    (2)、设点O是坐标原点,点P是椭圆C上异于E,F的点,且满足直线PE,PF分别与x轴交于M,N两点,证明:|OM||ON|为定值.
  • 7. 已知椭圆Ex2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4 , 离心率为32 , 其中左顶点为A , 右顶点为BO为坐标原点.
    (1)、求椭圆E的标准方程;
    (2)、直线y=x+t(t0)与椭圆E交于不同的两点PQ , 直线APBQ分别与直线y=x交于点MN. 求证:|OM||ON|为定值.
  • 8. 已知抛物线Cy=ax2(a>0)的焦点是F , 若过焦点F的直线与C相交于AB两点,所得弦长|AB|的最小值为2.
    (1)、求实数a的值;
    (2)、设PQ是抛物线C上不同于坐标原点O的两个不同的动点,且以线段PQ为直径的圆经过点O , 作OMPQM为垂足,试探究是否存在定点N , 使得|MN|为定值,若存在,则求出该定点N的坐标及定值|MN| , 若不存在,请说明理由.
  • 9. 已知椭圆Ex2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,A1 , 右焦点为点F , 点P是椭圆E上一动点,APA1面积的最大值为2,当PFx轴时,|PF|=12.
    (1)、求椭圆E的方程;
    (2)、已知直线l与椭圆E有且只有一个公共点,直线l与直线x=433交于点N , 过点Fx轴的垂线,交直线l于点M.求证:|FM||FN|为定值.
  • 10. 已知椭圆 Cx2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点 A(21) ,过右焦点 F2x 轴的垂线交椭圆于M,N两点,且 |MN|=6 .
    (1)、求椭圆 C 的方程;
    (2)、点P,Q在椭圆 C 上,且 kAPkAQ=13ADPQ ,D为垂足.证明:存在定点 S ,使得 |DS| 为定值.
  • 11. 已知椭圆 Tx2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左焦点为 F(c0) ,上顶点为 P .直线 PF 与椭圆 T 交于另一点 Q ,且 |PF|=7|FQ| ,点 E(312) 在椭圆 T 上.
    (1)、求椭圆 T 的方程.
    (2)、过点 M(02) ,且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 T 相交于 AB 两点,点 A 关于 y 轴的对称点为 A' ,作 MNA'B ,垂足为 N .是否存在定点 R ,使得 |NR| 为定值?若存在,求出定点 R 的坐标;若不存在,说明理由.
  • 12. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1F2 , 且F2(10)为长轴的一个四等分点.

    (1)、求椭圆的标准方程;
    (2)、分别过F1F2作斜率为k1k2的两条直线l1l2l1与椭圆交于AB两点,l2与椭圆交于CD两点,且k1k2=1.求证:1|AB|+1|CD|为定值,并求出该定值.
  • 13. 在平面直角坐标系中,椭圆 Cx2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率 e=63a=6 ,直线 lx 轴相交于点 E ,与椭圆相交于点 AB
    (1)、求椭圆 C 的方程,
    (2)、在 x 轴上是否存在点 E ,使得 1|EA|2+1|EB|2 为定值?若存在,请求出点 E 的坐标,若不存在,请说明理由.
  • 14. 已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 32 ,左、右焦点分别为 F1F2 ,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且有 |PF1|=2F1PF2=2π3
    (1)、求椭圆C的方程;
    (2)、设直线l不经过P(0,1)点且与椭圆E相交于A、B两点,若直线PA与直线PB的斜率之和为 2 ,若 PMl ,垂足为M,判断是否存在定点N,使得 |MN| 为定值,若存在求出点N,若不存在,说明理由.
  • 15. 已知椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23A1A2分别为椭圆C的左、右顶点,B为椭圆C的上顶点,F1为椭圆的左焦点,且A1F1B的面积为52.
    (1)、求椭圆C的方程;
    (2)、设过点D(10)的动直线l交椭圆CEF两点(点Ex轴上方),MN分别为直线A1EA2Fy轴的交点,证明:|OM||ON|为定值.
  • 16. 在平面直角坐标系xOy中,点M(01) , 记动点P到直线l:y=2的距离为d,且d=|PM|+1 , 设点P的轨迹为曲线E.
    (1)、求曲线E的方程;
    (2)、直线m交曲线E于A,B两点,曲线E在点A及点B处的切线相交于点C.设点C到直线l的距离为h,若△ABC的面积为4,求证:存在定点T,使得|CT|h恒为定值.
  • 17. 已知抛物线Cx2=2py(p>0)的焦点为F,点P(2y0)为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q , 且FPQ的面积为2.
    (1)、求抛物线的方程.
    (2)、若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M.证明:|MF||AB|为定值.
  • 18. 已知椭圆Cy2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1F2 , 左、右顶点分别为A1A2 , 且四边形A1F1A2F2是面积为8的正方形.
    (1)、求C的标准方程.
    (2)、M,N为C上且在y轴右侧的两点,MF1//NF2MF2NF1的交点为P,试问|PF1|+|PF2|是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.
  • 19. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=3 , 点M,M'的坐标分别为(20)(20) , 且N为该平面内一点,以MN为直径的圆内切于圆O,记点N的轨迹为曲线C.
    (1)、求曲线C的方程.
    (2)、已知P为曲线C上一点,过原点O作以P为圆心,32为半径的圆的两条切线,分别交曲线C于A,B两点,试问|OA|2+|OB|2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
  • 20. 已知椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32 , 点T(21)在椭圆上,与OT平行的直线l交椭圆CPQ两点,直线TPTQ分别于x轴正半轴交于MN两点.
    (1)、求椭圆C的标准方程;
    (2)、求证:|OM|+|ON|为定值.