距离型定值问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

试卷更新日期：2022-07-31 类型：一轮复习

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一、解答题

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $F_{1}$ （－ $\sqrt{3}$ ， 0）， $F_{2}$ （ $\sqrt{3}$ ， 0），点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 4$ ，记M的轨迹为C．以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆T与轨迹C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．

(1)、求C的方程；

(2)、求 $\vec{T A} \cdot \vec{T B}$ 的最小值，并求出此时圆T的方程；

(3)、设点P是轨迹C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值．

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为曲线 $y = 2 x^{2} - 6$ 与x轴的两个交点．

(1)、求C的方程；

(2)、点P是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别交于点A，B（异于P），证明： $| A B |$ 为定值．

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3. 在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$

(1)、求动点M的轨迹E的方程；

(2)、设过点 $N (0 ， t)$ 的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得 $\frac{1}{{| N C |}^{2}} + \frac{1}{{| N D |}^{2}}$ 为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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4. 设 $A$ 、 $B$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，设 $M (0 ， - 1)$ 是椭圆下顶点，直线 $M A$ 与 $M B$ 斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若一动圆的圆心 $Q$ 在椭圆上运动，半径为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．过原点 $O$ 作动圆 $Q$ 的两条切线，分别交椭圆于 $E$ 、 $F$ 两点，试证明 ${| O E |}^{2} + {| O F |}^{2}$ 为定值．

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5. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P$ 为椭圆上一动点， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若C， $D$ 分别是椭圆 $E$ 长轴的左、右端点，动点 $M$ 满足 $M D ⊥ C D$ ，连接 $C M$ 交椭圆于点 $N$ ， C为坐标原点.证明： $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 为定值.

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6. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，以椭圆C的右顶点A为圆心，作半径为r的圆 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，设圆A与椭圆C交于点E，F.

(1)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值，并求此时圆A的方程；

(2)、设点O是坐标原点，点P是椭圆C上异于E，F的点，且满足直线PE，PF分别与x轴交于M，N两点，证明： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值.

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7. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中左顶点为 $A$ ，右顶点为 $B$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、直线 $y = x + t (t \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P$ ， $Q$ ，直线 $A P$ ， $B Q$ 分别与直线 $y = x$ 交于点 $M$ ， $N$ . 求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值.

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8. 已知抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} (a > 0)$ 的焦点是 $F$ ，若过焦点 $F$ 的直线与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，所得弦长 $| A B |$ 的最小值为2．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $P$ ， $Q$ 是抛物线 $C$ 上不同于坐标原点 $O$ 的两个不同的动点，且以线段 $P Q$ 为直径的圆经过点 $O$ ，作 $O M ⊥ P Q$ ， $M$ 为垂足，试探究是否存在定点 $N$ ，使得 $| M N |$ 为定值，若存在，则求出该定点 $N$ 的坐标及定值 $| M N |$ ，若不存在，请说明理由．

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9. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A， $A_{1}$ ，右焦点为点 $F$ ，点 $P$ 是椭圆 $E$ 上一动点， $△ A P A_{1}$ 面积的最大值为2，当 $P F ⊥ x$ 轴时， $| P F | = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点，直线 $l$ 与直线 $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 交于点 $N$ ，过点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $l$ 于点 $M$ .求证： $\frac{| F M |}{| F N |}$ 为定值.

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2 ， 1)$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于M，N两点，且 $| M N | = \sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点P，Q在椭圆 $C$ 上，且 $k_{A P} \cdot k_{A Q} = \frac{1}{3}$ ， $A D ⊥ P Q$ ，D为垂足.证明：存在定点 $S$ ，使得 $| D S |$ 为定值.

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11. 已知椭圆 $T$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c ， 0)$ ，上顶点为 $P$ .直线 $P F$ 与椭圆 $T$ 交于另一点 $Q$ ，且 $| P F | = 7 | F Q |$ ，点 $E (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $T$ 上.

(1)、求椭圆 $T$ 的方程.

(2)、过点 $M (0 ， 2)$ ，且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $T$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A^{'}$ ，作 $M N ⊥ A^{'} B$ ，垂足为 $N$ .是否存在定点 $R$ ，使得 $| N R |$ 为定值？若存在，求出定点 $R$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2} (1 ， 0)$ 为长轴的一个四等分点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、分别过 $F_{1} ， F_{2}$ 作斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2} ， l_{1}$ 与椭圆交于 $A ， B$ 两点， $l_{2}$ 与椭圆交于 $C ， D$ 两点，且 $k_{1} \cdot k_{2} = 1$ .求证： $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |}$ 为定值，并求出该定值.

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13. 在平面直角坐标系中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3} ， a = \sqrt{6}$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$ ，与椭圆相交于点 $A ， B$ ；

(1)、求椭圆 $C$ 的方程，

(2)、在 $x$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $\frac{1}{| E A |^{2}} + \frac{1}{| E B |^{2}}$ 为定值？若存在，请求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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14. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且有 $| P F_{1} | = 2$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l不经过P（0，1）点且与椭圆E相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为 $- 2$ ，若 $P M ⊥ l$ ，垂足为M，判断是否存在定点N，使得 $| M N |$ 为定值，若存在求出点N，若不存在，说明理由．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左､右顶点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $F_{1}$ 为椭圆的左焦点，且 $△ A_{1} F_{1} B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $D (1 ， 0)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点(点 $E$ 在 $x$ 轴上方)， $M$ 、 $N$ 分别为直线 $A_{1} E$ 、 $A_{2} F$ 与 $y$ 轴的交点，证明： $\frac{| O M |}{| O N |}$ 为定值.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (0 ， 1)$ ，记动点P到直线l： $y = - 2$ 的距离为d，且 $d = | P M | + 1$ ，设点P的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、直线m交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C．设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得 $\frac{| C T |}{h}$ 恒为定值．

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17. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (- 2 ， y_{0})$ 为抛物线上一点，抛物线C在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $Q$ ，且 $△ F P Q$ 的面积为2.

(1)、求抛物线的方程.

(2)、若斜率不为0的直线 $l$ 过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段 $A B$ 的中垂线与y轴交于点M.证明： $\frac{| M F |}{| A B |}$ 为定值.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且四边形 $A_{1} F_{1} A_{2} F_{2}$ 是面积为8的正方形.

(1)、求C的标准方程.

(2)、M，N为C上且在y轴右侧的两点， $M F_{1} / / N F_{2}$ ， $M F_{2}$ 与 $N F_{1}$ 的交点为P，试问 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

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19. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 3$ ，点M， $M^{'}$ 的坐标分别为 $(\sqrt{2} ， 0)$ ， $(- \sqrt{2} ， 0)$ ，且N为该平面内一点，以MN为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程．

(2)、已知P为曲线C上一点，过原点O作以P为圆心， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 为半径的圆的两条切线，分别交曲线C于A，B两点，试问 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $T (2 ， 1)$ 在椭圆上，与 $O T$ 平行的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $T P$ ， $T Q$ 分别于 $x$ 轴正半轴交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证： $| O M | + | O N |$ 为定值.

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