距离型定值问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破(全国通用)
试卷更新日期:2022-07-31 类型:一轮复习
一、解答题
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1. 在平面直角坐标系xOy中,已知点(- , 0),( , 0),点M满足 , 记M的轨迹为C.以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆,圆T与轨迹C在第一象限交于点A,在第二象限交于点B.(1)、求C的方程;(2)、求的最小值,并求出此时圆T的方程;(3)、设点P是轨迹C上异于A,B的一点,且直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,O为坐标原点,求证:为定值.2. 已知椭圆的离心率为 , 左、右焦点分别为曲线与x轴的两个交点.(1)、求C的方程;(2)、点P是圆上的动点,过点P作C的两条切线,两条切线与圆O分别交于点A,B(异于P),证明:为定值.3. 在直角坐标系xOy中,长为3的线段AB的两端点A,B分别在x,y轴上滑动,动点M满足(1)、求动点M的轨迹E的方程;(2)、设过点的动直线l与(1)中的轨迹E交于C,D两点,是否存在定实数t,使得为定值?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.4. 设、分别为椭圆的左、右顶点,设是椭圆下顶点,直线与斜率之积为 .(1)、求椭圆的标准方程;(2)、若一动圆的圆心在椭圆上运动,半径为 . 过原点作动圆的两条切线,分别交椭圆于、两点,试证明为定值.5. 已知椭圆:的左、右焦点分别为 , , 离心率 , 为椭圆上一动点,面积的最大值为2.(1)、求椭圆的方程;(2)、若C,分别是椭圆长轴的左、右端点,动点满足 , 连接交椭圆于点 , C为坐标原点.证明:为定值.6. 已知椭圆C:的离心率为 , 以椭圆C的右顶点A为圆心,作半径为r的圆 , 设圆A与椭圆C交于点E,F.(1)、求的最小值,并求此时圆A的方程;(2)、设点O是坐标原点,点P是椭圆C上异于E,F的点,且满足直线PE,PF分别与x轴交于M,N两点,证明:为定值.7. 已知椭圆的长轴长为 , 离心率为 , 其中左顶点为 , 右顶点为 , 为坐标原点.(1)、求椭圆的标准方程;(2)、直线与椭圆交于不同的两点 , , 直线 , 分别与直线交于点 , . 求证:为定值.8. 已知抛物线:的焦点是 , 若过焦点的直线与相交于 , 两点,所得弦长的最小值为2.(1)、求实数的值;(2)、设 , 是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点,且以线段为直径的圆经过点 , 作 , 为垂足,试探究是否存在定点 , 使得为定值,若存在,则求出该定点的坐标及定值 , 若不存在,请说明理由.9. 已知椭圆:的左、右顶点分别为A, , 右焦点为点 , 点是椭圆上一动点,面积的最大值为2,当轴时,.(1)、求椭圆的方程;(2)、已知直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与直线交于点 , 过点作轴的垂线,交直线于点.求证:为定值.10. 已知椭圆 : 过点 ,过右焦点 作 轴的垂线交椭圆于M,N两点,且 .(1)、求椭圆 的方程;(2)、点P,Q在椭圆 上,且 , ,D为垂足.证明:存在定点 ,使得 为定值.11. 已知椭圆 : 的左焦点为 ,上顶点为 .直线 与椭圆 交于另一点 ,且 ,点 在椭圆 上.(1)、求椭圆 的方程.(2)、过点 ,且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 , 两点,点 关于 轴的对称点为 ,作 ,垂足为 .是否存在定点 ,使得 为定值?若存在,求出定点 的坐标;若不存在,说明理由.12. 已知椭圆的左右焦点为 , 且为长轴的一个四等分点.(1)、求椭圆的标准方程;(2)、分别过作斜率为的两条直线和与椭圆交于两点,与椭圆交于两点,且.求证:为定值,并求出该定值.13. 在平面直角坐标系中,椭圆 的离心率 ,直线 与 轴相交于点 ,与椭圆相交于点 ;(1)、求椭圆 的方程,(2)、在 轴上是否存在点 ,使得 为定值?若存在,请求出点 的坐标,若不存在,请说明理由.14. 已知椭圆C: 的离心率为 ,左、右焦点分别为 , ,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且有 ,(1)、求椭圆C的方程;(2)、设直线l不经过P(0,1)点且与椭圆E相交于A、B两点,若直线PA与直线PB的斜率之和为 ,若 ,垂足为M,判断是否存在定点N,使得 为定值,若存在求出点N,若不存在,说明理由.15. 已知椭圆的离心率为 , 、分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,为椭圆的左焦点,且的面积为.(1)、求椭圆的方程;(2)、设过点的动直线交椭圆于、两点(点在轴上方),、分别为直线、与轴的交点,证明:为定值.16. 在平面直角坐标系中,点 , 记动点P到直线l:的距离为d,且 , 设点P的轨迹为曲线E.(1)、求曲线E的方程;(2)、直线m交曲线E于A,B两点,曲线E在点A及点B处的切线相交于点C.设点C到直线l的距离为h,若△ABC的面积为4,求证:存在定点T,使得恒为定值.17. 已知抛物线:的焦点为F,点为抛物线上一点,抛物线C在点处的切线与轴相交于点 , 且的面积为2.(1)、求抛物线的方程.(2)、若斜率不为0的直线过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段的中垂线与y轴交于点M.证明:为定值.18. 已知椭圆的上、下焦点分别为 , , 左、右顶点分别为 , , 且四边形是面积为8的正方形.(1)、求C的标准方程.(2)、M,N为C上且在y轴右侧的两点, , 与的交点为P,试问是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.