3.3幂函数——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）

试卷更新日期：2022-07-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $a^{3} < b^{3}$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. “ ${(a + 1)}^{\frac{1}{2}} < {(2 - a)}^{\frac{1}{2}}$ ”是“ $- 2 < a < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、9 C、27 D、81

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4. 若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ ，则函数 $y = f (x) + 1 - x$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、2 D、3

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5. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 是幂函数，且 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递增，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2或-1 D、2

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6. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m + 1) x^{m^{2} + m - 2}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则m的值为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、-1

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7. 如图是幂函数 $y = x^{α}$ 的部分图象，已知α取 $\frac{1}{2}$ ，2， $- 2$ ， $- \frac{1}{2}$ 这四个值，则与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 相应的α依次为（）

A、2， $\frac{1}{2}$ ，- $\frac{1}{2}$ ，-2 B、-2，- $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，2 C、- $\frac{1}{2}$ ，2，-2， $\frac{1}{2}$ D、2， $\frac{1}{2}$ ，-2，- $\frac{1}{2}$

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8. 有四个幂函数：① $y = x^{- 1}$ ；② $y = x^{\frac{1}{3}}$ ；③ $y = x^{3}$ ；④ $y = x^{- 2}$ ；某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：
⑴偶函数：
⑵值域是 ${y | y \in R$ 且 $y \neq 0}$ ；
⑶在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = (3 m^{2} - 10 m + 4) x^{m}$ 是幂函数，则 $f (x)$ 一定（）

A、是偶函数 B、是奇函数 C、在 $x \in (- \infty ， 0)$ 上单调递减 D、在 $x \in (- \infty ， 0)$ 上单调递增

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10. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为增函数 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 为奇函数 D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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11. 关于幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $f (x) = x^{- 2}$ ，则 $f (x)$ 的定义域是 ${x | x \neq 0}$ B、若 $α = - 1$ ，则 $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2 ， 8)$ ，则其解析式为 $f (x) = x^{3}$ D、若 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 过点（1，-1）. B、若函数 $f (x)$ 过（-1，1），函数 $f (x)$ 为偶函数. C、若函数 $f (x)$ 过（-1，-1），函数 $f (x)$ 为奇函数. D、当 $α > 0$ 时， $\exists x \in R ，$ 使得函数 $f (\sqrt{2}) < f (1)$ .

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} - 2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为减函数，则 $f (2) =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in {- 2 ， - 1 ， \frac{1}{2} ， 1 ， 3})$ 为奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $α =$ ．

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15. 若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 为偶函数，则 $m =$ .

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16. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ ，且对于 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则 $m =$ ．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ （ $a$ 是常数）为幂函数，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断函数 $g (x) = \frac{f (x) + 4}{x}$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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18. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 2 ， \frac{1}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数

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19. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\sqrt{2} ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 满足条件 $f (2 - a) > f (a - 1)$ ，试求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + \frac{3 m}{2}) x^{m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + x$ ，求关于 $a$ 的不等式 $g (2 + a) > g (1 - a)$ 的解集.

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21. 已知幂函数 $f (x) = x^{9 - 3 m}$ $(m \in N^{*})$ 的图像关于原点对称，且在 $R$ 上函数值随 $x$ 的增大而增大.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求满足 $f (a + 1) + f (3 a - 4) < 0$ 的 $a$ 的取值范围.

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22. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $P (2 ， 4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、证明：函数 $g (x) = f (x) + \frac{2}{x}$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递减．

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