3.2 函数的基本性质——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）

试卷更新日期：2022-07-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 单调递增，且为奇函数，若 $f (2) = 1$ ，则满足 $- 1 \leq f (x + 3) \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 5 ， - 1]$ D、 $[1 ， 5]$

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2. 函数 $y = f (2 x - 1)$ 是R上的奇函数，函数 $y = f (x)$ 图像与函数 $y = g (x)$ 关于 $y = - x$ 对称，则 $g (x) + g (- x) =$ （）

A、0 B、-1 C、2 D、1

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3. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[m - 9 ， 2 m + 3]$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x ，$ 则 $f (m)$ 的值为（）

A、-2 B、-6 C、2 D、6

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4. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (- 1) = - f (1)$ B、 $f (- 2) < f (1)$ C、 $f (- 1) < f (2)$ D、 $f (1) > f (2)$

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5. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增， $f (- 1) = 2$ ，则不等式 $f (2 x + 1) < 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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7. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且 $g (x) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ 为 $R$ 上的奇函数 B、 $f (x) - g (x)$ 为 $R$ 上的奇函数 C、 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 为 $R$ 上的偶函数 D、 $| f (x) g (x) |$ 为 $R$ 上的偶函数

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8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增，且 $f (1) = 0$ ，则 $x f (x) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ [0 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 1] ∪ (0 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1]$

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二、多选题

9. 为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（）

A、当 $x \in [0 ， 2)$ 时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B、当 $x \in [2 ， 4)$ 时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C、当 $x \in [4 ， 6)$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [2 ， 4)$ 时增长了 $30 %$ D、当 $x \in [6 ， 8]$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [0 ， 2)$ 时减少了1.8吨

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10. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域都是R ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (x) \cdot | g (x) |$ 是奇函数 B、 $| f (x) | \cdot g (x)$ 是奇函数 C、 $f (x) \cdot g (x)$ 是偶函数 D、 $| f (x) \cdot g (x) |$ 是偶函数

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11. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，在区间 $[1 ， 6]$ 上单调，若 $f (- 3) < f (- 5)$ ，则有（）

A、 $f (1) < f (3)$ B、 $f (- 2) > f (4)$ C、 $f (- 4) < f (3)$ D、 $f (- 1) < f (2)$

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12. 下列函数既是偶函数，在 $(0 ， + \infty)$ 上又是增函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = | x |$ D、 $y = | \frac{1}{x} - x |$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 2 b x^{2} + x$ 是定义在 $[2 a + 1 ， 3 - a]$ 上的奇函数，则 $a + b =$ .

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14. 若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ 是 $[- 1 + a ， 2 a]$ 上的偶函数，则 $a + b$ 的值为.

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15. 如果函数 $y = {\begin{cases} 2 x - 3 ， x > 0 \\ f (x) ， x < 0 \end{cases}$ 是奇函数，则 $f (- 3) =$ ．

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16. 已知定义域为 $[- 2 ， 2]$ 的函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 0]$ 上单调递增，且 $f (x) + f (- x) = 0$ ，若 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \leq \frac{1}{2}$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ．

(1)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、对任意 $x \in [2 ， 4]$ 都有 $f (x) \leq m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ， $f (- 2) = \frac{3}{2}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，函数 $f (x) = x - \frac{m}{x}$ ．

(1)、求实数m的值；

(2)、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、利用定义判断并证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 的单调性．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{b x + c}{a x^{2} + 1}$ 为奇函数，满足 $f (1) = 1 ， f (2) = \frac{4}{5}$ ；

(1)、求 $a ， b ， c$ 的值．

(2)、函数 $f (x)$ 一个单调区间为 ▲ ；用单调性定义证明你的结论．

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20. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $\frac{1}{2} f (x) - g (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x + 5) + g (\frac{1}{x - 1}) < g (x) + g (\frac{1}{x})$ ，求x的取值范围.

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21. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x米，总造价为y元.

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、证明：函数 $y = f (x)$ 在 $[10 ， 20]$ 上单调递增；

(3)、当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价.

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1 ， 1)$ ，且满足：对任意 $x ， y \in (- 1 ， 1)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ．

(1)、求证：函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若当 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x)$ <0，求证： $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减；

(3)、在（2）的条件下解不等式： $f (x^{2} + x - 1) + f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x) > 0$ ．

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