高中数学人教A版（2019）必修一 2.2.2 基本不等式

试卷更新日期：2022-07-30 类型：同步测试

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一、单选题

1. 正实数a，b满足ab=1，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、5 D、8

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2. 已知 $x > 2$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{2 (x - 2)} - 2$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知实数 $x > 3$ ，则 $4 x + \frac{9}{x - 3}$ 的最小值是（）

A、24 B、12 C、6 D、3

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4. 已知 $x > 0$ ，则 $4 - 2 x - \frac{2}{x}$ 的最大值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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5. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、12 C、 $8 + 4 \sqrt{3}$ D、6

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6. 已知正实数a、b满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{4}{b} + \frac{1}{a}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、9

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = x y$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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8. 下列函数中最小值为 $4$ 的是（）

A、 $y = 4 x + \frac{1}{x}$ B、当 $x > 0$ 时， $y = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x + 1}$ C、当 $x < \frac{3}{2}$ 时， $y = 2 x - 1 + \frac{1}{2 x - 3}$ D、 $y = \sqrt{x^{2} + 5} + \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 5}}$

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9. 某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为 $m$ 克，则下列结论正确的是（）．

A、 $m > 20$ B、 $m < 20$ C、 $m = 20$ D、以上都可能

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二、填空题

10. 已知 $0 < x < 4$ ，则 $x (4 - x)$ 的最大值为．

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11. 函数 $y = x + \frac{4}{x + 1} + 3 (x > 0)$ 的最小值为，此时的x的取值为.

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12. 已知 $x < \frac{2}{3}$ ，则 $3 x + \frac{2}{3 x - 2}$ 的最大值为.

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13. 已知 $a b > 0 ， a + b = 1$ ，则 $\frac{a + 4 b}{a b}$ 的最小值为.

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14. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且 $2 a + b = a b$ ，则 $a b$ 的最小值为.

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15. 已知第一象限的点 $M (a ， b)$ 在直线 $x + y - 1 = 0$ 上，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是.

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16. 要制作一个容积为 $9 m^{3}$ ，高为 $1 m$ 的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是300元，侧面每平方米的造价是200元，则该容器的最低总造价为元.

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三、解答题

17. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 8 y = 3 x y$ ．

(1)、求 $x y$ 的最小值；

(2)、求 $x + y$ 的最小值．

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18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ .

(1)、若菜园面积为 $18 m^{2}$ ，则 $x$ ， $y$ 为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)、若使用的篱笆总长度为 $15 m$ ，求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y + 1}$ 的最小值.

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