适用2023年全国高考文数模拟试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2022-07-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 4 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 4 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 2 < x < 2}$ D、 ${x | - 4 < x < 3}$

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2. 下表是2017年至2022年硕士研究生的报名人数与录取人数（单位：万人），

年份	2017	2018	2019	2020	2021	2022
报名人数	201	238	290	341	377	457
录取人数	72	76	81	99	106	112

根据该表格，下列叙述错误的是（）

A、录取人数的极差为40 B、报名人数的中位数是315.5 C、报名人数呈逐年增长趋势 D、录取比例呈逐年增长趋势

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3. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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4. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、2 B、 $\frac{4 (3 + \sqrt{2})}{3}$ C、6 D、 $\frac{20}{3}$

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5. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的图象可以由 $y = \sqrt{2} s i n ω x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 B、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度得到 C、向右平移 $\frac{5 π}{3}$ 个单位长度得到 D、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度得到

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6. 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上随机取一个数 $x$ ，则事件“ $c o s x ⩾ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 函数 $f (x) = x^{2} \cdot l n | x |$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x) = x^{2} + 2 f^{'} (2) x + m (m \in R)$ ，则（）

A、 $f (0) < f (6)$ B、 $f (0) = f (6)$ C、 $f (0) > f (6)$ D、以上答案都不对

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9. 设 $α$ 是一个平面， $m$ 、 $n$ 是两条直线，则正确的命题为（）

A、如果 $m / / α$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / n$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ m$ ，那么 $n / / α$ C、如果 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，那么 $n ⊥ α$ D、如果 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，那么 $m ⊥ n$

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10. 已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为 $36 π$ ，则该正四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{27}{4}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、 $\frac{81}{4}$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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12. 设 $a = \frac{\sqrt{e}}{2}$ ， $b = \frac{3}{2 \sqrt{e}}$ ， $c = 2 (1 - l n 2)$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知直线l： $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ 与圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 相交于A，B两点，则 $| A B | =$ .

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则双曲线C的离心率为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点， $A D = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为： $[40 ， 50)$ 、 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $[70 ， 80)$ 、 $[80 ， 90)$ 、 $[90 ， 100]$ ．

(1)、求这100名学生成绩的平均值；

(2)、若采用分层抽样的方法，从成绩在 $[50 ， 60)$ 和 $[60 ， 70)$ 内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在 $[50 ， 60)$ 内的概率．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{4}$ 的等比中项为 $a_{2}$ ．

(1)、求通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前2022项和T．

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为AB的中点， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} C D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点A到平面 $A_{1} C D$ 的距离．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 a x^{2} + 1 (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最小值．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (- 1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = 0$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、是否存在过点 $Q (0 ， - 1)$ 的直线 $l$ ，交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，使得 $∠ M P F_{1} = ∠ N P F_{1}$ ？若存在，求直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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四、选考题，请考生在第22、23题中任选一题作答

22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线： $l ： {\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n (θ + \frac{π}{3})$

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点M的直角坐标为 $(0 ， 2)$ ，直线l与曲线C的交点为A，B，求 $| M A | + | M B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 9 | - | x - 5 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 x - 1$ 的解集；

(2)、函数 $y = f (x) + 3 | x - 5 |$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = m$ ，求 $a + 3 b$ 的最小值．

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