2023年全国甲卷（文数）模拟题

试卷更新日期：2022-07-29 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A ∩ B$ =（）

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、{1}

查看试题解析
2. 耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A、直方图中x的值为0.004 B、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[70 ， 80)$ 的学生数为30人 C、估计全校学生的平均成绩为84分 D、估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

查看试题解析
3. 已知复数z满足 $z + \bar{z} = 2$ ，且 $(z - \bar{z}) \cdot i = 4$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} π$ B、 $1 + \frac{2}{3} π$ C、 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} π$ D、 $1 + \frac{4}{3} π$

查看试题解析
5. 将函数 $y = t a n (ω x - \frac{π}{2}) (ω > 0)$ 的图象分别向左、向右各平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、6

查看试题解析
6. 某高校计划派出甲、乙、丙3名男生和A，B，C，3名女性共6名志愿者参与北京冬奥会志愿者工作，现将他们分配到北京、延庆2个赛区进行培训，其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去北京赛区，其他都去延庆赛区，则甲和A被选去北京赛区培训的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{8}$

查看试题解析
7. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot c o s x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 2 a e^{x} - e^{a} x^{2}$ 至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）．

A、0 B、1 C、2 D、e

查看试题解析
9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设直线 $B D_{1}$ 与直线AD所成的角为 $α$ ，直线 $B D_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成的角为 $β$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C = 2$ ， $△ P A C$ 为正三角形，且二面角 $P - A C - B$ 的平面角为 $\frac{π}{6}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{52}{9} π$ B、 $\frac{4}{9} π$ C、 $\frac{28}{3} π$ D、 $\frac{32}{9} π$

查看试题解析
11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接 $A P$ 、 $A Q$ ，分别与直线 $x = m$ 交于M、N两点，若 $M F ⊥ N F$ ，则 $m =$ （）

A、21 B、9 C、21或 $\frac{9}{5}$ D、21或9

查看试题解析
12. 实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 分别满足 $l o g_{\frac{21}{20}} x = \frac{22}{21}$ ， $2 1^{y} = 22$ ， $2 0^{z} = 21$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > x > y$ D、 $y > x > z$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 - x)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

查看试题解析
14. 点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上， $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，则 $∠ P B A$ 最大时， $| P B | =$ .

查看试题解析
15. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，P为抛物线上一动点，点 $Q (1 ， 1)$ ，当 $△ P Q F$ 的周长最小时，点P的坐标为．

查看试题解析
16. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $2 c s i n B = (2 a + c) t a n C$ ， $b s i n A s i n C = \sqrt{3} s i n B$ ，则△ $A B C$ 面积的最小值是．

查看试题解析

三、解答题

17. 新生儿的某种疾病要接种三次疫苗进行免疫，假设三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．为了解新生儿该疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验：10 $μ g$ ∕次剂量组与20 $μ g$ ∕次剂量组，接种三次后的试验结果如下：
单位：人
接种方案
结果
合计
接种成功
接种不成功
10 $μ g$ ∕次剂量组
900
100
1000
20 $μ g$ ∕次剂量组
973
27
1000
合计
1873
127
2000

(1)、根据数据说明哪种接种方案效果好，并依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断能否认为该疫苗是否接种成功与接种方案有关；

(2)、以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的1000人此剂量接种三次的成功人数比只接种一次的成功人数平均提高多少？

查看试题解析
18. 设数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $\sqrt{S_{n}} = \frac{1}{2} (a_{n} + 1)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

查看试题解析
19. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面在以AC为直径的圆O上，PO⊥圆O， $△ A B D$ 为等边三角形， $A C = 4$ ， $P O = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证：平面PBD⊥平面PAB；

(2)、线段PB上是否存在一点M使得直线PA与平面AMC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{21}$ ？若存在，求出 $\frac{P M}{P B}$ ；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x + a x (1 - l n x)$ ．

(1)、若 $a = 0$ 时，过点 $(0 ， 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线l，求l的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极小值，求a的取值范围．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2 ， 0)$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 经过椭圆 $C$ 的上、下顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和焦距；

(2)、已知 $P$ ， $Q$ 分别是椭圆 $C$ 和圆 $O$ 上的动点（ $P$ ， $Q$ 不在坐标轴上），且直线 $P Q$ 与 $x$ 轴平行，线段 $A P$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $M$ ，圆 $O$ 在点 $Q$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $N$ .求线段 $M N$ 长度的最小值.

查看试题解析

四、选做题

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{5} c o s θ ， \\ y = 2 + \sqrt{5} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.直线 $l$ 经过点 $P (a ， 0)$ ，且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的一个参数方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 2$ ，求实数 $a$ 的值.

查看试题解析
23. 设a，b，c均为正数，且 $a + b + c = 1$ ．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + c}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{1 - a} + \sqrt{1 - b} + \sqrt{1 - c} ≤ \sqrt{6}$ ．

查看试题解析

单位：人
接种方案	结果		合计
接种方案	接种成功	接种不成功	合计
10 $μ g$ ∕次剂量组	900	100	1000
20 $μ g$ ∕次剂量组	973	27	1000
合计	1873	127	2000