适用于2023高考文数模拟试卷（全国乙卷）

试卷更新日期：2022-07-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l n (x - 1)}$ ，集合 $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 1 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 5$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- 15 \sqrt{3}$ B、-30 C、-15 D、15

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4. 如图所示的茎叶图记录了甲､乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（）

A、乙销售数据的极差为24 B、甲销售数据的众数为93 C、乙销售数据的均值比甲大 D、甲销售数据的中位数为92

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5. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > 0 \\ x + y \leq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 5 x - y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $- \frac{9}{2}$ C、2 D、-3

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6. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若 $| P F | = 10$ ，则Q点的纵坐标为（）

A、7 B、5 C、3 D、1

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7. 《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数 $S =$ （）

A、18 B、25 C、33 D、42

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8. 函数 $y = \frac{1}{x^{4} - 1}$ 部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱AD， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线EF与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，若 $a_{1} + 2$ ， $a_{2} + 3$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 已知函数 $f (x) = 2 x + s i n x$ ，若 $f (l n x + \frac{a}{x}) + f (- 1) \geq 0$ 对 $x \in (0 ， 2]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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12. 已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在球O的球面上， $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = \sqrt{10}$ ， $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 分别是边长为 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则球O的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ C、36π D、 $\frac{40 \sqrt{10} π}{3}$

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二、填空题

13. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，则 $S_{100} =$ ．

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14. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是.

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15. 直线l： $x - y - m = 0$ 被圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ ，则m的值为.

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16. 若 $e^{x + 1} - \frac{l n x + 2 k}{x} - k \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数k的取值范围是.

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $s i n^{2} B + s i n^{2} C = (s i n A + 2 s i n B s i n C) s i n A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{17}$ ， $b = 3$ ，求△ABC的面积.

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18. 如图，四棱锥 $A - B C D E$ 的底面为等腰梯形， $D E$ ∥ $B C$ ，且 $∠ D C B = 4 5^{∘} ， A B ⊥ A C$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ .

(1)、证明： $C D ⊥ A B$ .

(2)、若 $B C = 2 D E = 2 A B = 2$ ， F为 $A D$ 的中点，求三棱锥 $F - A B C$ 的体积.

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19. 新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 9)$ 天的口罩的销售量 $y_{i}$ （百件），得到的数据如下： $\sum_{i = 1}^{9} x_{i} = 45 ， \sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 171$ ， $\sum_{i = 1}^{9} x_{i}^{2} = 285 ， \sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i} = 1095 ， \sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = \frac{3125}{3}$ ．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若用线性回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 拟合y与x之间的关系，求该回归直线的方程；

(2)、统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，不够精确，于是尝试使用非线性模型（下面简称模型2）得到 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 之间的关系，且模型2的相关系数 $r_{2} = 0 ． 989$ ，试通过计算说明模型1，2中，哪一个模型的拟合效果更好．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{3} - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 在 $x \in [1 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且点A到椭圆 $C$ 的右顶点的距离为 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ ： $y = k x + m (k > 0 ， m < 0)$ 与 $C$ 交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交 $C$ 于点Q，直线 $x = 6$ 交射线OP于点R，且 $| O P | \cdot | O R | = {| O Q |}^{2}$ ，求证；直线 $l$ 过定点.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s^{2} θ + c o s θ - ρ = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $l$ ： $y = k x (x \geq 0 ， 1 \leq k \leq 2)$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $O$ ， $M$ 两点，与 $C_{2}$ 交于O，N两点，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围.

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23. 设a，b，c均为正数，且 $a + b + c = 1$ ．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + c}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{1 - a} + \sqrt{1 - b} + \sqrt{1 - c} ≤ \sqrt{6}$ ．

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