2022年高考理数模拟试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2022-07-29 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知i为虚数单位，复数z满足 $z (2 - i) = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数z的模为 $\frac{1}{5}$ B、复数z的共轭复数为 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、复数z的虚部为 $\frac{1}{5} i$ D、复数z在复平面内对应的点在第一象限

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2. 耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A、直方图中x的值为0.004 B、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[70 ， 80)$ 的学生数为30人 C、估计全校学生的平均成绩为84分 D、估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

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3. 设集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x^{3} - 1}}$ ， $B = {x ∣ y = l g (x^{2} - 9)}$ ，则（）

A、 $A = R$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A ∩ (∁_{R} B) = (- 3 ， 1]$ D、 $A ∪ B = {x ∣ x \geq 1 或 x < - 3}$

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、6 B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{23}{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} c o s x$ 在 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 上的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数f（x）的图象与其在点P处的切线如图所示，则 $f (1) - f^{'} (1)$ 等于（）

A、－2 B、0 C、2 D、4

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7. 已知棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正四棱柱，底面正方形 $A B C D$ 的边长为2，正四棱柱外接球的体积为 $\frac{9 π}{2}$ ，则异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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8. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中a，b，c是 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边，若 $s i n C = 2 s i n A c o s B$ ，且 $b^{2} + c^{2} = 4$ ，则 $△ A B C$ 面积S的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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9. 用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角 $α$ 为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，双曲线C的右支上有一点P满足 $| O P | = | O F | = | P F |$ (点O为坐标原点)，那么双曲线C的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 1$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(\frac{1}{2 e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2 e)$ D、 $(2 e ， + \infty)$

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12. 已知 $a = e^{0.3}$ ， $b = \frac{l n 1.5}{2} + 1$ ， $c = \sqrt{1.5}$ ，则它们的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = \sqrt{5} ， (\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 直线l： $x - y - m = 0$ 被圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ ，则m的值为.

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15. 小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知在各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 21$ ，且 $a_{2} - 1$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4} + a_{3}$ 构成等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = A C$ ， $A A_{1} = 2 A B$ ， D是BC的中点.

(1)、证明： $A_{1} B ∥$ 平面 $A C_{1} D$ .

(2)、求直线AC与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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19. 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，已知这三种商品都能抢购成功的概率为 $\frac{1}{32}$ ，至少一种商品能抢购成功的概率为 $\frac{23}{32}$ .

(1)、①求 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 的值；
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.

(2)、求张某抢购成功获得的优惠总金额 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上有一动点 $P (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ ，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ．

(1)、判断线段 $M P$ 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；

(2)、过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交抛物线 $C$ 于另一点 $N$ ，求 $△ P M N$ 的面积的最小值．

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} - x + a l n x (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 4 a - \frac{1}{2}$ ．

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四、选考题请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + c o s α ， \\ y = 4 + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $| A B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x + a |$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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