适用于2023年高考理数模拟试卷（全国乙卷）

试卷更新日期：2022-07-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A ∩ B$ =（）

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、{1}

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2. 已知复数 $z$ 的实部为1，且 $| z - \bar{z} | = 2 | z + \bar{z} |$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (- 2 ， m)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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4. 新型冠状病毒肺炎（ $C O V I D - 19$ ）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 $i (t) = \frac{2500}{1 + 9 e^{- 0.2 t}}$ （ $i (t)$ 表示自4月20日开始 $t$ （单位：天）时刻累计感染人数， $i (t)$ 的导数 $i^{'} (t)$ 表示 $t$ 时刻的新增病例数， $l n 9 \approx 2.1972$ ），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（）

A、4月30日~5月2日 B、5月3日~5月5日 C、5月6日~5月8日 D、5月9日~5月11日

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5. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若 $| P F | = 10$ ，则Q点的纵坐标为（）

A、7 B、5 C、3 D、1

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6. 《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为总个数，则总个数 $S =$ （）

A、18 B、25 C、33 D、42

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，E，F分别为棱 $B C ， C D$ 上的动点.若直线 $C C_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、任意点E，F，二面角 $C_{1} - E F - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ B、任意点E，F，点C到面 $E F C_{1}$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ C、存在点E，F，使得直线 $C_{1} E$ 与 $A D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、存在点E，F，使得线段 $E F$ 长度为 $2 \sqrt{3}$

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8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，若 $a_{1} + 2$ ， $a_{2} + 3$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在球O的球面上， $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = \sqrt{10}$ ， $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 分别是边长为 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则球O的体积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ C、36π D、 $\frac{40 \sqrt{10} π}{3}$

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10. 设 $0 < p_{i} < 1 (i = 1 ， 2)$ ，随机变量 $ξ_{i} (i = 1 ， 2)$ 的分布列分别如下，则（）
$ξ_{1}$
0
1
2
P
$\frac{1 - p_{1}}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{p_{1}}{3}$
$ξ_{2}$
0
1
2
P
$\frac{p_{2}}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1 - p_{2}}{3}$

A、若 $p_{1} < p_{2} < \frac{1}{2}$ ，则 $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ B、若 $p_{1} < p_{2} < \frac{1}{2}$ ，则 $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ C、若 $p_{1} < \frac{1}{2} < p_{2}$ ，则 $D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ D、若 $p_{1} < \frac{1}{2} < p_{2}$ ，则 $D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$

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11. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A是C上一点，满足 $| A F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $c o s ∠ A F_{1} F_{2} = \frac{7}{8}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，若关于x的方程 $f (x) = m (x + 1) (m > 0)$ 恰有5个解，则m的取值范围为（）

A、 $(\frac{e - 1}{6} ， \frac{e - 1}{5})$ B、 $(\frac{e - 1}{6} ， \frac{e - 1}{4})$ C、 $(\frac{e - 1}{8} ， \frac{e - 1}{6})$ D、 $(0 ， e - 1)$

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二、填空题

13. 自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动.统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达3.46亿人.一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好十个月大的孩子把“0､2､2､2､北､京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”，就说“很好”，那么“很好”的概率是.

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14. 直线l： $x - y - m = 0$ 被圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ ，则m的值为.

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15. 若函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 的值域为 $[- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，则ω的取值范围是

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16. 已知 $0 < a \neq 1$ ， $a^{x} > l o g_{a}^{} x (x > 0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $s i n^{2} B + s i n^{2} C = (s i n A + 2 s i n B s i n C) s i n A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{17}$ ， $b = 3$ ，求△ABC的面积.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是等腰梯形， $A D / / B C ， A B = C D ， B C = 2 A D ， ∠ A B C = 60 °$ ， E是棱 $P B$ 的中点，F是棱 $P C$ 上的点，且A，D，E，F四点共面．

(1)、求证：F为 $P C$ 的中点；

(2)、若 $△ P A D$ 为等边三角形，二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $120 °$ ，求直线 $B D$ 与平面 $A D F E$ 所成角的正弦值．

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19. 新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9天统计了第 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 9)$ 天的口罩的销售量 $y_{i}$ （百件），得到的数据如下： $\sum_{i = 1}^{9} x_{i} = 45 ， \sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 171$ ， $\sum_{i = 1}^{9} x_{i}^{2} = 285 ， \sum_{i = 1}^{9} x_{i} y_{i} = 1095 ， \sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = \frac{3125}{3}$ ．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若用线性回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 拟合y与x之间的关系，求该回归直线的方程；

(2)、统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，不够精确，于是尝试使用非线性模型（下面简称模型2）得到 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 之间的关系，且模型2的相关系数 $r_{2} = 0 ． 989$ ，试通过计算说明模型1，2中，哪一个模型的拟合效果更好．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且点A到椭圆 $C$ 的右顶点的距离为 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ ： $y = k x + m (k > 0 ， m < 0)$ 与 $C$ 交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交 $C$ 于点Q，直线 $x = 6$ 交射线OP于点R，且 $| O P | \cdot | O R | = {| O Q |}^{2}$ ，求证；直线 $l$ 过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x + a x (1 - l n x)$ ．

(1)、若 $a = 0$ 时，过点 $(0 ， 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线l，求l的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极小值，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s^{2} θ + c o s θ - ρ = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $l$ ： $y = k x (x \geq 0 ， 1 \leq k \leq 2)$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $O$ ， $M$ 两点，与 $C_{2}$ 交于O，N两点，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围.

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23. 设a，b，c均为正数，且 $a + b + c = 1$ ．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + c}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{1 - a} + \sqrt{1 - b} + \sqrt{1 - c} ≤ \sqrt{6}$ ．

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$ξ_{1}$	0	1	2
P	$\frac{1 - p_{1}}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{p_{1}}{3}$

$ξ_{2}$	0	1	2
P	$\frac{p_{2}}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1 - p_{2}}{3}$