3.1 函数的概念及其表示——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）

试卷更新日期：2022-07-28 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{x + 1}$ 与 $g (x) = x - 1$ B、 $f (x) = 2 | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{4 x^{2}}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = \sqrt{x + 1} \sqrt{x - 1}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(3 ， 5)$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(7 ， 11)$ C、 $(4 ， 16)$ D、 $(3 ， 5)$

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x}$ 的定义域是（）

A、 $[- 4 ， 0) ∪ (0 ， 4]$ B、 $[- 4 ， 4]$ C、 $(- \infty ， - 4] ∪ [4 ， + \infty)$ D、 $[- 4 ， 0) ∪ [4 ， + \infty)$

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4. 下列函数表示同一函数的是（）

A、 $y = x + 1$ 与 $y = \frac{x^{2}}{x} + 1$ B、 $y = x^{3}$ 与 $y = {(x - 1)}^{3}$ C、 $y = | x |$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = x^{0}$ 与 $y = \frac{1}{x^{0}}$

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5. 函数 $y = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2) ∪ (2 ， + \infty)$

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6. 若 $f (\frac{1}{x}) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ ，则有（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x^{2} + x$ C、 $f (x) = x^{2} + x (x \neq 0)$ D、 $f (x) = x^{2} + 1 (x \neq 0)$

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7. 设全集 $U = R$ ，函数 $f (x) = \sqrt{1 - x}$ 的定义域为A，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域､对应关系和值域，甲､乙､丙三个同学得出了各自的判断：
甲：存在函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
乙：存在函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；
丙：存在函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同.
上述三个判断中，正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、多选题

9. 下列函数定义域和值域相同的是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1$ B、 $f (x) = x^{2} + 5$ C、 $f (x)$ = $\frac{1}{x}$ D、 $f (x)$ = $\sqrt{x}$

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10. 下列函数中，值域为 $[1 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = x^{2} - 2 x + 2$ B、 $y = \frac{1}{x - 1}$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$

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11. 下列各组函数不是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 与 $g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \cdot \sqrt{- 2 x}$ C、 $f (x) = x + 2$ 与 $g (t) = \sqrt[3]{t^{3}} + 2$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ 与 $g (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$

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12. 下列各组函数表示不同函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

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三、填空题

13. 若函数 $f (\sqrt{x + 1}) = x - 1$ ，则 $f (x) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x}$ 的定义域为

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15. 若函数 $f (x) = a \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ 的定义域与值域相同，则 $a =$ .

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16. 已知函数 $y = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 1}$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $[- 1 ， 4]$ ，那么 $a =$ ， $b =$ .

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四、解答题

17. 求下列函数的解析式

(1)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $3 f (x + 1) - 2 f (x - 1) = 2 x + 17$ ，求 $f (x)$ ；

(2)、若函数 $f (\sqrt{x + 1}) = x - 1$ ，求 $f (x)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{3 x + 1}}$ 的定义域为集合 $A$ ，函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a}$ 的定义域为集合 $B$ ，

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、设命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ ， $p 是 q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x | a - 1 < x < 1 + a}$ .

(1)、求集合 $A$ 与 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产 $x (x \in N_{+})$ 件产品的总费用为y元.当 $x = 60$ 时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ， $(a ， b ， c \in R)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：
① $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 3)$ ；
② $a = - 1$ ；
③ $f (x)$ 最小值为-4．

(1)、请写出这两个条件的序号，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq (m - 2) x + 2 m^{2} - 3 ， (m \in R)$ 的解集.

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22. 已知函数f（x） $= \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域是A，函数g（x）＝x²+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B.

(1)、分别求出定义域A与集合B；

(2)、设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}.若B∩C＝∅，求实数a的取值范围.

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