第二章一元二次函数、方程和不等式——【帮课堂】2022-2023年高一上学期同步检测卷（新人教2019版必修第一册）

试卷更新日期：2022-07-28 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = x y$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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2. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式不能成立的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $l n a^{2} < l n b^{2}$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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3. 设集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $[- 3 ， 4)$ B、 $(1 ， 3]$ C、(－1，4) D、 $[- 1 ， 4)$

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4. 正实数a，b满足ab=1，则 $a + 4 b$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、5 D、8

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5. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 和实数 $t$ 满足 $4 a^{2} + 2 t a b + b^{2} = 4$ ，若 $2 a + b$ 存在最大值，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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6. 若正数 $a ， b$ 满足 $a + b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 5}{x - 2} (x \geq \frac{5}{2})$ 有（）

A、最大值 $\frac{5}{2}$ B、最小值 $\frac{5}{2}$ C、最大值2 D、最小值2

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8. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a + | a | \geq b + | b |$ ”是“ $a \geq b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 已知 $x ， y \in R_{+}$ ， $x + y = m$ （m是常数），则下列结论正确的是（）

A、若 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y + 1}$ 的最小值为 $m + 1$ ，则 $m = 3$ B、若 $x (y + 1)$ 的最大值为4，则 $m = 3$ C、若 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为m，则 $m = 2$ D、若 $m = 4$ ，则 $\frac{y^{2} + 9}{x}$ 的最小值为2

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10. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ D、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ C、 $a > b > 0$ ，则 $a^{3} - b^{3} > a^{2} b - a b^{2}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$

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12. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ 且 $3 x + 2 y = 10$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < y < 5$ B、 $\sqrt{3 x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为 $2 \sqrt{5}$ C、 $x y$ 的最大值为 $\frac{6}{25}$ D、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{100}{13}$

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三、填空题

13. 已知 $x > 2$ ，则 $\frac{4}{x - 2} + x$ 的最小值是．

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14. 不等式 $\frac{2 - x}{1 + x} > 0$ 的解集为.

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15. 若命题p： $\forall x \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 4 ⩾ 0$ 为真命题，则实数a的取值范围为.

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16. 已知正实数 $a ， b$ ，满足 $3 a + b = 2$ ，则 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{9}{b})$ 的最小值为.

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四、解答题

17.

(1)、若实数 $x > 3$ ，求 $x + \frac{1}{x - 3}$ 的最小值，并求此时 $x$ 的值；

(2)、解不等式 $x^{2} + (a + 2) x + a + 1 > 0$ （ $a \in R$ ）．

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18. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ .

(1)、求集合B；

(2)、求 $A \cap B$ .

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19. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $(x - a) (x - 4 a) < 0$ ，其中 $a > 0$ ． $q$ ：实数 $x$ 满足 $\frac{x - 3}{x - 2} \leq 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求满足 $p$ ， $q$ 条件的实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 $a$ 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名（ $x \in N$ 且 $90 \leq x \leq 150$ ），调整后研发人员的年人均投入增加 $(2 x) %$ ，技术人员的年人均投入调整为 $a (m - \frac{x}{25})$ 万元.
（Ⅰ）要使这 $200 - x$ 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？

（Ⅱ）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 $m$ ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 $m$ 的范围；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ .

(1)、求解不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，求函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 的最大值，以及 $y$ 取得最大值时 $x$ 的值.

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22. 已知不等式 $m x^{2} + n x - \frac{1}{m} < 0$ 的解为 ${x | x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > 2}$ .

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $(2 a - 1 - x) (x + m) > 0$ ，其中 $a$ 是实数．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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