广东省深圳市龙华区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a < b$ ，则下列结论正确的是（）

A、a-3>b-3 B、 $a + 3 < b + 3$ C、 $- 3 a < - 3 b$ D、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$

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3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $6 x^{2} y = 2 x \cdot 3 x y$ B、 $a^{2} + a b = a^{2} (a + \frac{b}{a})$ C、 $a^{2} - 2 a - 1 = a (a - 2) - 1$ D、 $2 a^{2} + 4 a = 2 a (a + 2)$

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4. 如图， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，将 $△ A B C$ 沿直线 $B C$ 平移至 $△ D C E$ 的位置，连接 $B D$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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5. 若分式 $\frac{2 a}{a + b}$ 中a，b都扩大到原来的2倍，则分式 $\frac{2 a}{a + b}$ 的值（）

A、保持不变 B、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 C、扩大到原来的2倍 D、无法确定

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6. 不等式 $x - 1 < 3 x + 3$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，边 $B C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于E，交 $B C$ 于点D，若 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $△ A E C$ 的周长为（）

A、8 B、9 C、7 D、10

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8. 下列命题是真命题的是（）

A、六边形的内角和与外角和都是 $360 °$ B、等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

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9. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，已知每个足球60元，每个篮球90元，学校最多可以购买的篮球个数是（）

A、115 B、116 C、117 D、118

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，将 $▱ A B C D$ 绕顶点A逆时针旋转至 $▱ A E F G$ ，此时点D在 $A E$ 上，连接 $A C 、 A F 、 C F 、 E B$ ，线段 $E B$ 分别交 $C D 、 A C$ 于点H、K，则下列四个结论中：① $∠ C A F = 60 °$ ；② $△ D E H$ 是等边三角形；③ $2 A D = 3 H K$ ；④当 $A B = 2 A D$ 时， $4 S_{△ A C F} = 7 S_{▱ A B C D}$ ；正确的是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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12. 要使分式 $\frac{1}{x + 2}$ 有意义，x的取值应满足的条件是．

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13. 我们定义一种新运算： $x \otimes y = \frac{x y}{3} - 2 y$ ，如 $2 \otimes 3 = \frac{2 \times 3}{3} - 2 \times 3 = - 4$ ，则关于a的不等式 $2 a \otimes 2 \leq 2$ 的最大整数解为．

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14. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅把四块完全相同的平面图形按如图所示的方式进行镶嵌，经测量， $C D = 30 c m$ ， $B C = 50 c m$ ， B、D两点之间的距离为 $40 c m$ ，则图中阴影部分的面积为 $c m^{2}$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2 A B$ ， AD平分 $∠ B A C$ ，过点B作 $B E ⊥ A D$ 于点E，F是边 $A C$ 上一动点，连接 $B F$ ，当 $∠ F B E = ∠ C B E$ 时， $C F$ 的长是．

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三、解答题

16.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x + 2 \geq x - 4 \\ \frac{x}{3} < \frac{x + 2}{5} \end{array}$

(2)、解方程： $\frac{1}{x - 2} - \frac{x - 4}{2 - x} = 3$ ．

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17. 先化简、再求值： $(1 + \frac{2}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 4$ ．

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18. 在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为 $(1 ， 0) 、 (4 ， 2) 、 (2 ， 4)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 沿着x轴向左平移5个单位后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在图中画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕着O顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在图中画出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、将线段 $A B$ 绕着某个定点旋转 $180 °$ 后得到 $B_{1} A_{1}$ （其中点A的对应点为点 $B_{1}$ ，点B的对应点为点 $A_{1}$ ），则这个定点的坐标是．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点H是边 $A B$ 上一点，连接 $C H$ ．

(1)、尺规作图：请作出 $∠ A D C$ 的角平分线，分别交 $C H 、 C B$ 于点G、E，交 $A B$ 的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若点G恰好是线段 $C H$ 的中点，求证： $B F = A H$ ．

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20. 某鲜花店销售A种鲜花每束的单价比B种多6元，张阿姨发现：用720元购得的A种鲜花与用600元购得的B种鲜花的束数一样多．母亲节前夕，该鲜花店推出优惠活动方案：购买A种鲜花，前10束（含10束）按原价销售，购买超过10束，每多买一束，送一束；购买B种鲜花，每束都按原价的七五折销售．

(1)、求该鲜花店A、B两种鲜花的单价各是多少元？

(2)、某公司准备购进m束（m为大于10的偶数）同种鲜花，请问该如何购买更合算？请通过计算说明．

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21. 【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，点P是底边 $B C$ 上的点，且 $∠ P D B = ∠ P E C = 90 °$ ，过点B作 $B F ⊥ A C$ 于点F，请写出线段 $P D$ 、 $P E$ 、 $B F$ 之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作 $P G ⊥ B F$ 于点G；
解决思路2：如图3，过点B作 $B H ⊥ P E$ ，交 $E P$ 的延长线于点H；

(1)、上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段 $P D 、 P E 、 B F$ 之间满足的数量关系式为．

(2)、【类比探究】
如图4，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，点P是底边 $B C$ 上的点，且 $∠ P D B = ∠ P E C = α$ ，过点B作 $B F ∥ P E$ 交 $A C$ 于点F，请写出线段 $P D 、 P E 、 B F$ 之间满足的数量关系式，并说明理由．

(3)、【拓展应用】
如图5，在 $△ A C P$ 与 $△ B D P$ 中， $∠ A = ∠ B = 75 °$ ， $∠ A P C = ∠ B P D = 60 °$ ，点A、B、P在同一条直线上，若 $A B = 6$ ， $P C = 2$ ，则 $P D =$ ．

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22. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ；

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为平行四边形；

(2)、如图2所示，将四边形 $A B C D$ 沿着 $A E$ 折叠，使得点D落在 $A B$ 边上，连接 $B E$ ，当 $A B = 2 A D$ 时，则 $∠ B E A =$ $°$ ；

(3)、在（2）的条件下，以点A为原点， $A B$ 边所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将 $△ A B E$ 沿射线 $A E$ 方向平移得到 $△ A^{'} B^{'} E^{'}$ ，如图3所示，若点B的坐标为 $(10 ， 0)$ ，点D的坐标为 $(3 ， 4)$ ，则在这个平移过程中，点 $A^{'}$ 、B、 $B^{'}$ 是否可以构成等腰三角形？若可以，请直接写出点 $B^{'}$ 的坐标，若不可以，请说明理由．

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