山东省烟台市莱州市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{0.75}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $\sqrt{63}$

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{1 - x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \neq 1$ C、 $x > 1$ D、 $x \geq 0$ 且 $x \neq 1$

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3. 下列命题：①若一个三角形三边的比为 $1 ： 1 ： \sqrt{2}$ ，则这是一个等腰直角三角形；②两条对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④两个邻角相等的平行四边形是矩形．其中正确命题有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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5. 已知两个相似三角形的周长比为 $2 ： 3$ ，若较大三角形的面积等于 $18 c m^{2}$ ，则较小三角形的面积等于（）

A、 $8 c m^{2}$ B、 $12 c m^{2}$ C、 $27 c m^{2}$ D、 $40.5 c m^{2}$

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6. 如图，已知在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上的点， $D E / / B C$ ， $E F / / A B$ ，且 $A D ： D B = 3 ： 5$ ，那么 $C F ： C B$ 等于 $($ $)$

A、5∶8 B、3∶8 C、3∶5 D、2∶5

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7. 若 $\sqrt{12 n}$ 是整数，则正整数 $n$ 的最小值是（）

A、1 B、3 C、6 D、12

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线相交于点 $O$ ．图中的等腰直角三角形有（）

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ 两个顶点在 $x$ 轴的上方，点 $C$ 在 $x$ 轴上．以点 $C$ 为位似中心，在 $x$ 轴的下方作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C$ ，并把 $△ A B C$ 的边长放大到原来的2倍．设点 $A$ 的纵坐标是 $a$ ，则点 $A_{1}$ 的纵坐标是（）

A、 $- \frac{1}{2} a$ B、 $\frac{1}{2} a$ C、 $- 2 a$ D、 $2 a$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线 $O D$ 交 $A B$ 于点 $O$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ．下列结论中错误的是（）

A、 $∠ C = 2 ∠ A$ B、 $B D$ 平分 $∠ A B C$ C、 $S_{△ B C D} = S_{△ B O D}$ D、点 $D$ 为线段 $A C$ 的黄金分割点

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二、填空题

11. 方程 $x^{2} - 1 = 0$ 的根为．

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12. 计算 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ 的结果等于．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上， $C E ， B D$ 交于点 $F$ ，若 $A E ： B E = 4 ： 3$ ，且 $B F = 2$ ，则 $D F =$ ．

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14. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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15. 若 $\sqrt{3}$ 的整数部分是a，小数部分是b，则 $\sqrt{3} a - b$ = ．

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16. 若最简二次根式 $\sqrt{12 - 2 m}$ 与 $\sqrt{m + 3}$ 可以合并，则 $m =$ ．

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17. 小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为．

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18. 已知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

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19. 已知 $\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}$ ，那么 $\frac{a - b + c}{a} =$ ．

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20. 如图， $△ A B C$ 是一张等腰直角三角形纸板， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 2$ ．在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为 $S_{1}$ ；在余下的 $R t △ A D E$ 和 $R t △ B D F$ 中，仿照第1次剪取，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为 $S_{2}$ ；继续操作下去…，则第2022次剪取时， $S_{2022} =$ ．

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三、解答题

21. 计算： $\sqrt{27} \times \sqrt{\frac{1}{3}} - (\sqrt{5} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{3})$ ．

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22. 解方程： $9 {(x + 1)}^{2} - 25 = 0$ ．

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 1) x + k = 0$ ．试说明：无论 $k$ 取何值，这个方程总有实数根．

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24. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A C$ 且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $C E$ 、 $O E$ ，连接 $A E$ 交 $O D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $O E = C D$ ；

(2)、若菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 60 °$ .求 $A E$ 的长.

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25. 某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？

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26. 如图的 $4 \times 4$ 的方格中，每个小正方形的边长都为1．请画一个 $△ A B C$ ，使它的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且 $A B = 2$ ， $A C = 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ， $B C = \frac{2}{5} \sqrt{125}$ ．

(1)、在 $4 \times 4$ 的方格内画出 $△ A B C$ ．

(2)、说明所画三角形各边的长度符合要求．

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27. 如图，在矩形 $A B C D$ （ $A D > A B$ ）中， $E F$ 是 $A C$ 的垂直平分线，分别交 $A C$ ， $A D$ ， $B C$ 于点 $O$ ， $E$ ， $F$ ．连接 $A F$ 和 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、过点 $E$ 作 $E P ⊥ A D$ ，交 $A C$ 于点 $P$ ．若 $A E = 10 c m$ ， $A P = 12 c m$ ，求 $A C$ 的长．

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