山东省青岛市西海岸新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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2. 如图，天平左盘中物体 $A$ 的质量为 $m g$ ，天平右盘中每个砝码的质量都是 $l g$ ，则 $m$ 的范围在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若把分式 $\frac{x + y}{2 x - y}$ 的 $x$ 和 $y$ 同时扩大为原来的5倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的5倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{5}$ C、扩大为原来的10倍 D、保持不变

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4. 下列多项式中不能运用公式法进行因式分解的是（）

A、 $- a^{2} + 4 b^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2}$ C、 $- a^{2} + 2 a b - b {}_{2}$ D、 $- a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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5. 正八边形和下列哪种正多边形可以镶嵌整个平面（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若平行四边形的一条边长为9，则它的两条对角线长可能是（）

A、3和4 B、5和6 C、6和8 D、10和12

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7. 如图， $△ A B C$ 的顶点坐标 $A (2 ， 3)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (4 ， 2)$ ，将 $△ A B C$ 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $B C$ 边上一点 $D (m ， n)$ 的对应点 $D^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(m + 3 ， n + 1)$ B、 $(m - 3 ， n - 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(3 - m ， 1 - n)$

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8. 如图， $∠ A O B$ 是一钢架， $∠ A O B = 18 °$ ，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， …，添加的钢管长度都与 $O E$ 的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（）

A、4 B、5 C、6 D、无数

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二、填空题

9. 若一个分式只含有字母 $x$ 且当 $x = 2$ 时分式的值为0，这个分式可以是（写出满足条件的一个分式即可）

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10. 已知，在数轴上表示实数 $x$ 的点与原点的距离不大于6，则 $x$ 的取值范围是．

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11. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的周长是 $18 c m$ ， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ B D$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，则 $△ A B E$ 的周长是 $c m$ ．

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12. 已知 $m + n = 3$ ， $m - n = 12$ ，则 ${(m - 5)}^{2} - {(n + 5)}^{2} =$ ．

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13. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 2} - 3 = \frac{m}{2 - x}$ 有增根，则 $m$ 的值为．

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14. 如图，直线 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， 4)$ ，与直线 $y_{2} = k_{2} x$ 相交于点 $B (3 ， 2)$ ．则关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} k_{1} x + b > k_{2} x \\ k_{1} x + b < 4 \end{array}$ 的解集是．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $B C$ ， $A C$ 边上，将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $C$ 恰好落在边 $A B$ 的点 $F$ 上．若 $D F$ 平分 $∠ B D E$ ， $C D = 4$ ，则 $A C =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(1 ， 0)$ ， $(1 ， \sqrt{3})$ ，将 $△ O A B$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得 $O A_{1} = 2 O A$ ， $O B_{1} = 2 O B$ ，得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ．将 $△ O A_{1} B_{1}$ 绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得 $O A_{2} = 2 O A_{1}$ ， $O B_{2} = 2 O B_{1}$ ，得到 $△ O A_{2} B_{2}$ ， …，如此继续下去，得到 $△ O A_{2022} B_{2022}$ ，则点 $A_{2022}$ 的坐标是．

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三、解答题

17.

(1)、因式分解： $3 m^{2} - 3 n^{2}$ ；

(2)、化简： $a - 1 + \frac{2 a - 8}{a^{2} - 16} \div \frac{2 a + 2}{a + 4}$ ；

(3)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 3 (x - 1) \leq 2 \\ \frac{1 + 3 x}{2} - 2 > x + 1 \end{array}$ ；

(4)、解方程： $\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x + 4}{x (x - 1)} = 3$ ．

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18. 已知：如图， $∠ A B C$ 及射线 $B C$ 上的一点 $D$ ．

(1)、求作：等腰 $△ B D E$ ，使线段 $B D$ 为等腰 $△ B D E$ 的底边，点 $E$ 在 $∠ A B C$ 内部，且点 $E$ 到 $∠ A B C$ 两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $D E ⊥ A B$ ，则 $∠ A B C =$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 边的中点， $A E$ 平分角 $∠ B A C$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $∠ A B F = ∠ A F B$ ，连接 $D E$ ．已知 $A B = 9$ ， $B C = 11$ ， $D E = 2$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 某校为开展“七彩六月，让梦齐飞”系列主题竞赛活动，学校决定到文体超市购买钢笔和笔记本共50件作为奖品，但购买奖品的总费用不能超过500元．已知钢笔的标价为15元/支，笔记本的标价为10元/本．经协商，超市老板同意钢笔、笔记本均按标价的8折给予优惠，那么学校最多能购买多少支钢笔？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ A E D$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的一点，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ．连接 $C E$ ，过点 $E$ 交作 $E M ∥ B C$ 交 $C A$ 的延长线于点 $M$ ，连接 $B M$ ．

(1)、证明： $△ B A D ≌ △ C A E$ ；

(2)、判断四边形 $M B D E$ 的形状，并证明你的结论．

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22. 中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国．某茶店用8000元购进A种茶叶若干盒，用7800元购进 $B$ 种茶叶若干盒，所购A种茶叶比 $B$ 种茶叶多10盒，已知 $B$ 种茶叶的每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.3倍．

(1)、 $A$ ， $B$ 两种茶叶的每盒进价分别为多少元？

(2)、当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进 $A$ ， $B$ 两种茶叶共150盘，且A种茶叶的数量不少于 $B$ 种茶叶的2倍．若A种茶叶的售价是每盒300元， $B$ 种茶叶的售价为每盒400元，则A， $B$ 两种茶叶分别购进多少盒时可使获得的利润最大？最大利润是多少？

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23. [阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．
例1：用配方法因式分解： $a^{2} + 4 a + 3$ ．
原式 $= a^{2} + 4 a + 4 - 1 = {(a + 2)}^{2} - 1 = (a + 2 - 1) (a + 2 + 1) = (a + 1) (a + 3)$
例2：求 $x^{2} + 8 x + 21$ 的最小值．
解： $x^{2} + 8 x + 21 = x^{2} + 8 x + 16 + 5 = {(x + 4)}^{2} + 5$ ；
由于 ${(x + 4)}^{2} \geq 0$ ，所以 ${(x + 4)}^{2} + 5 \geq 5$ ，
即 $x^{2} + 8 x + 21$ 的最小值为5．

(1)、[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： $a^{2} + 6 a +$ ；

(2)、仿照例1的步骤，用配方法因式分解： $m^{2} - 10 m + 24$ ；

(3)、仿照例2的步骤，求 $4 x^{2} + 12 x + 15$ 的最小值；

(4)、若 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y - 6 y + 9 = 0$ ，则 $x - y =$ ．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $B C = 8 c m$ ， $A D = C D = 10 c m$ ，点 $E$ 从点 $B$ 出发，沿 $B C$ 方向匀速运动，速度为 $2 c m / s$ ；同时，点 $F$ 从点 $D$ 出发，沿 $D A$ 方向匀速运动，速度为 $3 c m / s$ ．过点 $E$ 作 $E H ⊥ A D$ ，垂足为 $H$ ， $E H$ 与 $A C$ 相交于点 $G$ ，连接 $F G$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < \frac{10}{3})$ ，解答下列问题：

(1)、求 $D H$ 的长度（用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当 $△ C E G ≌ △ A H G$ 时，求 $t$ 的值；

(3)、设四边形 $C D F G$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的关系式；

(4)、在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 $B$ ， $E$ ， $F$ ， $H$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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