山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 要使分式 $\frac{2}{x - 1}$ 有意义，x的取值应满足（）

A、x≠0 B、x≠1 C、x≠2 D、x为任意实数

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2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ C、 $x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1)^{2} + 1$ D、 $12 x y^{2} = 2 x \cdot 6 y^{2}$

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3. 在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（）

A、140° B、100° C、40° D、120°

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4. 已知x＝1是方程x²﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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5. 如图，在菱形ABCD中，两条对角线长AC＝6，BD＝8，则此菱形的面积为（）

A、48 B、24 C、20 D、12

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6. 从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（　　）.

A、10个 B、20个 C、30个 D、无法确定

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7. 下列式子中，能运用平方差公式分解因式的是（）

A、﹣4a²+b² B、x²+4 C、a²+c²﹣2ac D、﹣a²﹣b²

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8. 化简 $\frac{m - 1}{m^{2}} \div \frac{1 - m}{m^{3}}$ 的结果是（）

A、 $m$ B、 $\frac{1}{m}$ C、 $- m$ D、 $- \frac{1}{m}$

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9. 已知关于x的一元二次方程x²−2x−k−1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > – 2$ B、 $k \geq - 2$ C、 $k \leq - 2$ D、 $k < - 2$

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10. 如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（）

A、140° B、120° C、100° D、80°

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11. 已知a，b，c，d都是正数，如果M=（a+b+c）（b+c+d ），N=（a+b+c+d ）（b+c），那么M，N的大小关系是（）

A、M＞N B、M=N C、M<N D、不确定

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $P (4 ， 4)$ ， A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且 $△ A B O$ 的周长是8，则P到直线 $A B$ 的距离是（）

A、4 B、3 C、2.5 D、2

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二、填空题

13. 因式分解： $2 a b - 4 a$ =.

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14. 已知一个正n边形的每个内角都是120°，则 $n =$ ．

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15. 如图，随机闭合开关S₁、S₂、S₃中的两个，则灯泡发光的概率为．

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16. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{x + 4} - \frac{x - 1}{x + 4} = 0$ 产生增根，则 $m =$ ．

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17. 如图，在一块长11m，宽为7m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为60m² ，则小路宽为 m．

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18. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是．

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三、解答题

19. 化简： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{x}{x - 1}$ ．

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20. 解方程： $2 x^{2} - 3 x = 1 - 2 x$ ．

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21. 已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE＝CF，求证：∠EBO＝∠FDO．

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22. 第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
分组
频数
60＜x≤70
4
70＜x≤80
12
80＜x≤90
16
90＜x≤100
请根据图表信息，解答下列问题：

(1)、本次知识竞答共抽取七年级同学名；在扇形统计图中，成绩在“90＜x≤100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为°；

(2)、该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．

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23. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．

(1)、求证：△HCE是等腰三角形．

(2)、若 $A B = 4$ ，求HD的长度．

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24. 某汽车贸易公司销售 $A$ ， $B$ 两种型号的新能源汽车， $A$ 型车每台进货价格比 $B$ 型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买 $A$ 型车的数量和用30万元购买 $B$ 型车的数量相同．

(1)、求购买一台 $A$ 型、一台 $B$ 型新能源汽车的进货价格各是多少万元？

(2)、该公司准备用不超过300万，采购 $A$ ， $B$ 两种新能源汽车共22台，问最少需要采购 $A$ 型新能源汽车多少台？

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25. 先阅读下面的材料，再解决问题：
因式分解多项式：am+an+bm+bn，
先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：
得：a（m+n）+b（m+n）
再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．
于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
请用上面材料中提供的方法解决问题：

(1)、将多项式ab﹣ac+b²﹣bc分解因式；

(2)、若△ABC的三边a、b、c满足条件：a⁴﹣b⁴+a²c²+b²c²＝0，试判断△ABC的形状．

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26. 利用完全平方公式（a+b）²＝a²+2ab+b²和（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x²+2x﹣3＝x²+2x+1﹣4
＝（x+1）²﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x²﹣4x﹣6的最小值：
2x²﹣4x﹣6＝2（x²﹣2x）﹣6
＝2（x²﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）²﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）²﹣8
又∵2（x﹣1）²≥0
∴当x＝1时，代数式2x²﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：

(1)、分解因式：m²﹣6m﹣7；

(2)、当x、y为何值时，多项式2x²+y²﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；

(3)、已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²+b²＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．

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27.

(1)、【问题原型】如图1，在四边形ABCD中， $∠ A D C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C .$ 点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF， $D E .$ 试说明： $D E = E F$ ．

(2)、【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分 $∠ B A D$ ， $∠ D E F = 9 0^{∘}$ 时，求 $∠ B A D$ 的大小．

(3)、【应用】如图3，在问题原型的条件下，当 $A B = 2$ ，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．

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分组	频数
60＜x≤70	4
70＜x≤80	12
80＜x≤90	16
90＜x≤100