安徽省合肥市高新区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若式子 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 3$ B、 $x \leq 3$ C、 $x > 3$ D、 $x \neq 3$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $- {(\sqrt{3})}^{2} = 3$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、1, $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$ ，3，5

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4. 用配方法解方程x²-4x+2=0，配方正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6$

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5. 一个正多边形的每一个外角都是36°，则它是（）

A、正六边形 B、正八边形 C、正九边形 D、正十边形

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6. 已知一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两根分别为m，n，则 $3 m + 3 n - m n$ 的值是（）

A、15 B、13 C、 $- 9$ D、9

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7. 某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（）

A、126，126 B、126，130 C、130，134 D、118，134

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8. 电影《我和我的祖国》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若设增长率为x，则根据题意可列方程为（）

A、 $3 (1 + x) = 10$ B、 $3 {(1 + x)}^{2} = 10$ C、 $3 + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$ D、 $3 + 3 (1 + x) + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$

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9. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$ +1

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二、填空题

11. 如果最简二次根式 $\sqrt{1 +a}$ 与 $\sqrt{4 a - 2}$ 是同类二次根式，那么a=.

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12. 若a是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的解，则代数式 $2 a^{2} - 4 a + 2019$ 的值为.

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13. 如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为．

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14. 如图，矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，点E是边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG．请完成下列探究

(1)、若ED平分 $∠ F E C$ ，则AE的长等于；

(2)、连接AF，若 $A F = 3 A E$ ，则 $△ A E F$ 的面积等于．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt{32} - \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{24} \div \sqrt{3}$

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16. 解方程： $2 x (x + 2) - 1 = 0$

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17. 已知关于x的方程x²-（m+3）x+m+1＝0．

(1)、求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．

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18. 早在我国西汉时期算书《周脾算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表（其中m，n为正整数，且 $m > n$ ）：
m
2
3
3
4
4
…
n
1
1
2
1
2
…
a
$2^{2} + 1^{2}$
$3^{2} + 1^{2}$
$3^{2} + 2^{2}$
$4^{2} + 1^{2}$
$4^{2} + 2^{2}$
…
b
4
6
12
8
16
…
c
$2^{2} - 1^{2}$
$3^{2} - 1^{2}$
$3^{2} - 2^{2}$
$4^{2} - 1^{2}$
$4^{2} - 2^{2}$
…

(1)、探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(2)、以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．

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19. 如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F．

(1)、求证：EO=OF；

(2)、连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．

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20. 细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
$O A_{2}^{2} = {(\sqrt{1})}^{2} + 1 = 2$ ， $S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ （S₁是Rt△OA₁A₂的面积）；
$O A_{3}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 1 = 3$ ， $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ （S₂是Rt△OA₂A₃的面积）；
$O A_{4}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1 = 4$ ， $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ （S₃是Rt△OA₃A₄的面积）；
…

(1)、请用含有n（n为正整数）的式子填空： $O A_{n}^{2} =$ ， $S_{n} =$ ；

(2)、求 $\frac{1}{S_{1} + S_{2}} + \frac{1}{S_{2} + S_{3}} + \frac{1}{S_{3} + S_{4}} + ⋯ + \frac{1}{S_{99} + S_{100}}$ 的值；

(3)、在线段OA₁、OA₂、OA₃、…、OA₂₀₂₂中，长度为正整数的线段共有条．

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21. 为了了解某小区居民用水情况，从该小区的A、B两幢楼中各随机抽取25户的五月份用水量，并将所得用水量数据分成五组，如下表所示：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
用水量/立方米
$6 \leq x < 8$
$8 \leq x < 10$
$10 \leq x < 12$
$12 \leq x < 14$
$14 \leq x \leq 16$
将收集的数据进行整理、分析后，得到如下信息：
①A楼25户居民用水量的频数分布直方图如下图．
②A楼第三组数据（单位：立方米）是：10，10，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，10.8
③已知A、B两幢楼的样本数据的平均数和中位数如下表．

平均数
中位数
A楼
10.8
n
B楼
11
11.5
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、表格中的 $n =$ ；

(2)、若A楼的样本数据中高于其平均数的有a个，B楼的样本数据中高于其平均数的有b个，请比较a、b的大小；并说明理由；

(3)、若A楼共有180户居民、若B楼共有120户居民，则这两幢楼平均每户的用水量约是多少立方米？

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22. 某商店“五一”期间举行了促销活动，经过市场调查发现，某种商品的日销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，下表列出了该商品的售价x、日销售量y、日销售利润w（元）的部分对应值：
x（元/件）
m
40
70
y（件）
n
180
90
w（元）
2100
3600
4500

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、商店在活动期间为了促销，求表中m、n的值．

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23. 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的中线，且交于点O（O是△ABC的重心），G为BO的中点，H为OC的中点．

(1)、求证：四边形EFGH为平行四边形；

(2)、若OA=5，OB=3，OC=4，求△ABC的面积；

(3)、若四边形EFGH为菱形，求证：AB²+AC²=5BC² ．

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m	2	3	3	4	4	…
n	1	1	2	1	2	…
a	$2^{2} + 1^{2}$	$3^{2} + 1^{2}$	$3^{2} + 2^{2}$	$4^{2} + 1^{2}$	$4^{2} + 2^{2}$	…
b	4	6	12	8	16	…
c	$2^{2} - 1^{2}$	$3^{2} - 1^{2}$	$3^{2} - 2^{2}$	$4^{2} - 1^{2}$	$4^{2} - 2^{2}$	…

组别	第一组	第二组	第三组	第四组	第五组
用水量/立方米	$6 \leq x < 8$	$8 \leq x < 10$	$10 \leq x < 12$	$12 \leq x < 14$	$14 \leq x \leq 16$

	平均数	中位数
A楼	10.8	n
B楼	11	11.5

x（元/件）	m	40	70
y（件）	n	180	90
w（元）	2100	3600	4500