四川省眉山市彭山区2022年九年级一诊数学试卷

试卷更新日期：2022-07-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{2}{3}$ 的相反数是（）

A、﹣ $\frac{3}{2}$ B、﹣ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（）

A、 0.215×10⁸ B、2.15×10⁷ C、2.15×10⁶ D、21.5×10⁶

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3. 如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a (a + 1) = a^{2} + 1$ B、 $3 a^{2} + a = 3 a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{5} \div a^{2} = a^{3}$

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5. 为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（）只．

A、200 B、300 C、400 D、500

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6. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转一定角度得到 $△ A D E$ .若 $∠ C A E = 65 °$ ， $∠ E = 70 °$ ，且 $A D ⊥ B C$ ， $∠ B A C$ 的度数为（）

A、65° B、70° C、75° D、85°

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7. 如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 若二元一次方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = 3, \\ 4 x - 7 y = 9 \end{cases}$ 的解为 ${\begin{cases} x = m, \\ y = n, \end{cases}$ 则 $m - n$ 的值是（）

A、3 B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、2

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9. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C、D为 $⊙ O$ 上两点， $∠ B C D = 30 ° ， B D = 2$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 若一元二次方程x²−4x−4m=0有两个不相等的实数根，则正比例函数y=(m+2)x的图象所在的象限是（）

A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限

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11. 若关于x的一元一次不等式结 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 1}{2} \leq x + 3 \\ x \leq a \end{array}$ 的解集为 $x \leq a$ ；且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{y - a}{y - 2} + \frac{3 y - 4}{y - 2} = 1$ 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）

A、7 B、－14 C、28 D、－56

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12. 如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC＝2AP，则BO＝6OP；②若BC＝8，BP＝7，则PC＝5；③AP²＝OP•AQ；④若AB＝3，则OC的最小值为 $\sqrt{3}$ ，其中正确的是（　　）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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二、填空题

13. 因式分解： $x^{2} y - 36 y =$ .

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14. 函数y= $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x - 3}$ 的自变量x的取值范围是．

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15. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高 OC 的长度是．

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，按如下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D；③连接BD.若AC=8，则BD的长为.

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17. 观察下列等式：
第1个等式： $\frac{1}{3} \times (1 - \frac{1}{1 \times 4}) = \frac{1}{4}$ ；
第2个等式： $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \times 7}) = \frac{1}{7}$ ；
第3个等式： $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \times 10}) = \frac{1}{10}$ ；
第4个等式： $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{4 \times 13}) = \frac{1}{13}$ ；
第5个等式： $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} - \frac{1}{5 \times 16}) = \frac{1}{16}$ ；…
根据以上规律，写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）

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18. 如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C.已知 BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD为直角三角形时，线段AF的长为.

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三、解答题

19. 计算： $2 s i n 30 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 8} + | 1 - \sqrt{3} |$ .

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20. 若 $a + b - 1 = 0$ ，求代数式 $(\frac{a^{2}}{b^{2}} - 1) \cdot \frac{3 b^{2}}{a - b}$ 的值.

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21. 目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对）.并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；

(2)、求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；

(3)、在此次调查活动中，初三（1）班有A₁、A₂两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B₁、B₂两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率.

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22. 如图，已知直线y=x+1与双曲线y= $\frac{k}{x}$ 交于A(a，2)、B(−2，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C.

(1)、A点的坐标为， B点的坐标为，双曲线解析式为.

(2)、直接写出关于x的不等式： $x + 1 \geq \frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、若点P在直线 $y = x + 1$ 上，是否存在点P，使 $S_{△ A C P} = 2 S_{△ A O C}$ .若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.

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23. 周末小亮一家到水上乐园游玩．在岸边码头P处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行，划行速度是20米/分钟，划行10分钟后到达A处，接着向正南方向划行一段时间到B处，在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73

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24. 由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）.第一次用275万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第二次用191万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车25辆.

(1)、求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；

(2)、经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车5.8万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的辆数不少于甲型号汽车辆数的2倍，若两种型号汽车每辆的进价与售价均不变，请你求出获利最大的购买方案，并求出最大利润.

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25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.

(1)、求证：DH是⊙O的切线；

(2)、若点A为EH的中点，求 $\frac{A F}{O F}$ 的值；

(3)、若EA＝EF＝2，求⊙O的半径.

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26. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 $(4 ， - 3)$ .

(1)、请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；

(2)、若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为 $m (m \geq 0)$ ，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；

(3)、若点Q是y轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点Q的坐标.

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