（北师大版）2022-2023学年度第一学期九年级数学4.4 探索三角形相似的条件同步测试

试卷更新日期：2022-07-25 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列格点三角形中，与右侧已知格点 $△ A B C$ 相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列图形，一定相似的是（）

A、两个直角三角形 B、两个等腰三角形 C、两个等边三角形 D、两个菱形

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3. “双减”期间，某校音乐社团购买了一种乐器，如图.乐器上的一根弦 $A B = 60 cm$ ，两个端点 $A ， B$ 固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则 $C ， D$ 之间的距离为（）

A、 $(30 \sqrt{5} - 30) cm$ B、 $(60 \sqrt{5} - 30) cm$ C、 $(100 - 30 \sqrt{5}) cm$ D、 $(60 \sqrt{5} - 120) cm$

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4. 将一个三角形的各边都缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 后，得到三角形与原三角形（）

A、一定不相似 B、不一定相似 C、无法判断是否相似 D、一定相似

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5. 如果点 $P$ 是线段AB的黄金分割点，且 $A P < B P$ ，那么 $\frac{A P}{B P}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6. 如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点 $E$ ，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（）

A、6对 B、5对 C、4对 D、3对

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7. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的条件有（　　）
①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；
②∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm， $∠ C ＝ 90 °$ ， A′C′＝9cm，B′C′＝6cm；
③AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；
④△ABC与△A′B′C′是有一个角为80°等腰三角形

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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8. 已知 $C$ 是 $A B$ 的黄金分割点（ $A C < B C$ ），若 $A B = 4 cm$ ，则BC的长为（）

A、（ $2 \sqrt{5} - 2$ ） $cm$ B、（ $6 - 2 \sqrt{5}$ ） $cm$ C、（ $\sqrt{5} - 1$ ） $cm$ D、（ $3 - \sqrt{5}$ ） $cm$

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9. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（　　）

A、200（ $\sqrt{5}$ ﹣1） B、100（ $\sqrt{5}$ ﹣1） C、100（3﹣ $\sqrt{5}$ ） D、50（ $\sqrt{5}$ ﹣1）

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10. 一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cm。

A、 $26 \sqrt{5}$ +26 B、 $26 \sqrt{5}$ -26 C、 $13 \sqrt{5}$ +14 D、 $13 \sqrt{5}$ -13

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二、填空题

11. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且 $A B = 2$ ， $A C < B C$ ，则AC长是.

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12. 已知线段AB＝8cm，点C是AB的黄金分割点，且 $A C > B C$ ，那么线段AC的长为cm．

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13. 如果 $\frac{x - y}{y}$ 的值是黄金分割数，那么 $\frac{x}{y}$ 的值为．

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14. 已知线段 $A B = 2$ ， $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A P < P B$ ），那么 $P B =$ ．

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15. 我们把宽与长的比为黄金比 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ 的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 边于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为．

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三、解答题

16. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．

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17. 补图并证明．如图 $∠ A = ∠ D = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D E = D C$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ ，求证： $△ A C D ∽ △ B C E$ ．

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18. 如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，
求证：△ABC∽△ADE

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19. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．

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20. 如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点G．求证：△ABE∽△ECG．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，满足 $∠ D E F = ∠ B$ ，且点 $D$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上. 求证： $△ B D E$ $∽$ $△ C E F$ .

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，E是 $B A$ 延长线上的一点，连接 $E C$ 交 $A D$ 于点F.求证： $△ B E C ∽ △ D C F$ .

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23. 如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．

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24. 我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系.某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A' B' C'$ 中， $∠ C = ∠ C' = 90 °$ ，且 $\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{B' C'}$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A' B' C'$ 相似吗？并说明理由.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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