云南省昆明市官渡区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x \in N$ ，且 $x > - 1} ， B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 命题“ $\forall x > 1$ ， $\sqrt{x} > 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} > 1$ ， $\sqrt{x_{0}} \leq 1$ B、 $\forall x_{0} > 1$ ， $\sqrt{x_{0}} \leq 1$ C、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $\sqrt{x_{0}} \leq 1$ D、 $\exists x_{0} > 1$ ， $\sqrt{x_{0}} > 1$

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3. 已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = π^{0}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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4. 方程lnx+2x﹣6＝0的近似解所在的区间是（）

A、（1，2） B、（2，3） C、（3，4） D、（4，5）

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5. 已知 $c o s (α + 37 °) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (53 ° - α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x + a)$ $- b$ 为奇函数．则函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + 2$ 图象的对称中心为（）

A、 $(- 1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足 $a = 4$ ， $b + c = 6$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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二、多选题

9. 下列命题正确的有（）

A、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$

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10. 已知集合 $M = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $N = {y | 0 \leq y \leq 4}$ ，则下列表达式能建立从集合 $M$ 到集合 $N$ 的函数关系的有（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = l n x$ D、 $y = \frac{1}{2} x^{3}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为 $\frac{π}{3}$ B、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$ C、终边经过点 $(a ， a) (a \neq 0)$ 的角的集合是 ${α | α = \frac{π}{4} + 2 k π ， k \in Z}$ D、为了得到函数 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象，只要把 $y = 3 s i n 2 x$ 上所有的点向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n (x + 2) | ， x \in (- 2 ， 0] \\ f (x - 2) ， x \in (0 ， 2] \end{array}$ ，函数 $y = f (x) - m$ 有四个不同的零点，且从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $0 \leq x_{1} x_{2} < 1$ C、 $x_{3} x_{4} = 1$ D、 $- 1 < x_{2} x_{4} \leq 0$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (8) =$ ．

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14. 计算： $l g 2 + l g 5 + \sqrt{(π - 3)^{2}} =$ ．

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15. 从出生之月起，人的体力、情绪、智力等生理、心理状况呈周期变化，根据心理学家统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种，这些节律的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．除临界日外，高潮期和低潮期在一个周期内的表现如下表所示：
节律周期
生理、心理状况
高潮期
低潮期
体力
精力充沛
疲倦乏力
情绪
轻松愉快
苦恼烦闷
智力
反应灵敏
反应迟钝
如果2022年1月3日是同学甲的 $16$ 岁生日（每年按 $365$ 天计算），那么2022年1月13日同学甲的体力：，情绪：，智力：．（请用上表中所列词语填写）

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16. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数 $y = [x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．如 $[3] = 3$ ， $[3.7] = 3$ ， $[- 3.6] = - 4$ ，记函数 $f (x) = x - [x]$ ，则 $f (- 2.4) =$ ， $f (x)$ 的值域为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | x \leq m$ 或 $x \geq m + 2}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A ∪ B$ ， $A ∩ ∁_{R} B$ ；

(2)、若选__________，求实数 $m$ 的取值范围．
从① $A ∪ B = B$ ；② $A ∩ B = A$ ；③ $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $c o s A = \frac{4}{5}$ ， $t a n B = 2$ ，求下列各式的值．

(1)、 $t a n A$ ；

(2)、 $s i n (2 A + B)$ ．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， a]$ 上的最值．

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20. 已知 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) +$ $s i n (x - \frac{π}{6}) + c o s x + a$ 的最大值为1．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、画出函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的图象，并写出 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递减区间；

(3)、若 $x \in [0 ， 2 π]$ ，函数 $y = f (x) + \frac{3}{2}$ 的零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的值．

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21. 2021年12月3日中老铁路全线开通运营，线路全长1035公里，北起中国昆明，南至老挝万象，给群众出行带来巨大便利，也极大促进了区域社会经济的发展．已知该条线路通车后，列车的平均发车时间间隔 $t$ （单位：分钟）满足 $20 \leq t \leq 70$ ，经市场调研测算，列车载客量与平均发车时间间隔 $t$ 相关，当 $50 \leq t \leq 70$ 时列车为满载状态，载客量为600人；当 $20 \leq t < 50$ 时，载客量会减少，减少的人数为 $k (50 - t)^{2}$ ，且平均发车时间间隔为20分钟时的载客量为150人，记列车载客量为 $p (t)$ ．

(1)、求 $p (t)$ 的表达式，并求当平均发车时间间隔为30分钟时，列车的载客量；

(2)、若该线路每分钟的净收益为 $Q (t) = \frac{20 p (t) + 2760}{t}$ （元），问当平均发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - l n (1 - x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、解不等式： $f (2 x - 1) > l n 3$ ；

(3)、已知 $g (x) = - a x^{2} - 6 (x - 1) e^{f (x)} - 5$ 的图象在 $x$ 轴的上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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节律周期生理、心理状况	高潮期	低潮期
体力	精力充沛	疲倦乏力
情绪	轻松愉快	苦恼烦闷
智力	反应灵敏	反应迟钝