四川省资阳市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 ≤ x ≤ 1} ， B = {x | x < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(- \infty ， 0)$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - l n x}$ 的定义域为（）

A、 $(0 ， e]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[e ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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3. 已知 $f (x - 1) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (2) =$ （）

A、3 B、5 C、7 D、15

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4. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合．若点 $P (- 2 ， 2)$ 在角α终边上，则 $s i n α - c o s α =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、0 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x) = l n x + x^{2} - 2$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 下列函数中为奇函数且在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} - 1$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = x + x^{3}$ D、 $y = x + c o s x$

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7. 为了得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图象，可将函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 图象上的所有点（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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8. 已知函数 $y = s i n (x + φ) (0 < φ < π)$ 为偶函数，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 设 $a = 2 l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{9} 15$ ， $c = 2^{\frac{3}{2}}$ ，则a，b，c大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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10. 某企业注重科技创新，逐年加大研发资金投入．现分析了过去10年来的研发资金投入情况，已知2010年投入研发资金80万元，2020年投入研发资金320万元，且每年投入研发资金的增长率相同，则该企业在2022年投入的研发资金约为（）
（参考数据： $\sqrt[5]{2} \approx 1.15$ ， $\sqrt[5]{3} \approx 1.25$ ）

A、346.4万元 B、368万元 C、400万元 D、423.2万元

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 单调递增，又 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $f (l o g_{2} x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(8 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2) ∪ (8 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1) ∪ (2 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 + | l n x | ， x > 0 ， \\ - x^{2} - 4 x ， x \leq 0 . \end{array}$ 若函数 $y = a {[f (x)]}^{2} - (2 a + 1) f (x) + a - 2$ （其中 $a > 0$ ）有6个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3} ， 3)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 4)$ C、 $(- \frac{1}{12} ， 3)$ D、 $[2 ， 4)$

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二、填空题

13. 求值： $2 l g 2 - l g \frac{1}{25} =$ ．

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14. 给出两个条件：① $a ， b \in R$ ， $f (a + b) = f (a) f (b)$ ；② $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数．（写出满足条件的一个函数即可）

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15. 已知集合 $A = {x | 2^{1 - 2 x} > \frac{1}{8}}$ ， $B = {x | 2 x - a < 0}$ ．若 $A ∩ B = A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）．给出以下结论：
①若 $ω = \frac{1}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ ；
②若 $ω = \frac{1}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增；
③若 $ω = 2$ ，函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12} ， k \in Z$ ；
④若 $ω = 2$ ， $t_{1} ， t_{2} \in [- π ， 2 π]$ ， $f (t_{1}) f (t_{2}) = 1$ ，则 $t_{1} - t_{2}$ 的最大值为 $2 π$ ；
其中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 a + 1 < x < 2 a + 6}$ ， $B = {x | - 4 \leq x \leq 2}$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n α = - 2 c o s α$ ．

(1)、求 $s i n α - c o s α$ ；

(2)、求值 $\frac{s i n (3 π + α)}{s i n (\frac{π}{2} - α)} \cdot \frac{c o s (5 π - α)}{t a n (π + α)} \cdot c o s (\frac{3 π}{2} + α)$ 的值．

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19. 已知 $f (x) = l o g_{a} (a x - 2)$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $a = 2$ ， $f (x) < 2$ ，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in [4 ， 6]$ ， $f (x)$ 的最大值大于1，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称．

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若将 $y = f (x)$ 图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 $\frac{2}{ω}$ 倍（其中 $ω > 0$ ），所得图象的解析式为 $y = g (x)$ ．若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 有两个零点，求 $ω$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并用调性定义进行证明；

(3)、令函数 $g (x) = m + 2^{x - 1} + l o g_{\sqrt{2}} x$ ．若对任意 $x_{1} 、 x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围．

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22. 定义在D上的函数 $f (x)$ ，若对任意 $x \in D$ ，存在常数 $M > 0$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称 $f (x)$ 是D上的有界函数，其中M称为函数 $f (x)$ 的上界．已知函数 $f (x) = \frac{1 - m \cdot 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ （ $m \neq - 1$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，判断函数 $f (x)$ （ $x \in R$ ）是否为有界函数，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是以 $\frac{1}{2}$ 为上界的函数，求实数m的取值范围．

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