四川省泸州市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {0 ， 1 ， 3}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、9 C、27 D、81

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3. 函数 $y = a^{x} + 3$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(3 ， 3)$

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4. 神学家阿奎那说：“愉快的感觉来自恰当的比例”，当折扇的张角为 $\frac{3}{4} π$ 时给人们带来好的视觉效果.现有一张角为 $\frac{3}{4} π$ ，半径为4的扇形，则该扇形的面积为（）

A、3π B、4π C、6π D、8π

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5. $s i n 600 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - 2 x - 1$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = 2 c o s x$

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7. 已知函数 $f (x) = l n x$ ，则函数 $y = f (\frac{1}{1 - x})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ C、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、 $\vec{a} / / \vec{b}$

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9. 已知第三象限角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5} ， m)$ ，则 $\frac{1 - s i n α c o s α}{c o s^{2} α - s i n^{2} α} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、-1

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10. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{2}{3}$ ， $φ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = \frac{4}{3}$ ， $φ = - \frac{π}{6}$ D、 $ω = \frac{4}{3}$ ， $φ = \frac{π}{6}$

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11. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n π x ， 0 \leq x < 2 \\ 2 f (x - 2) ， x \geq 2 \end{array}$ 在 $[4 ， 6]$ 上的值域为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $[- 8 ， 8]$

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12. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $l n \frac{1}{a} = e^{- b} = c$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a = b = c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = t a n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω$ 的值为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， 2)$ ， $\vec{c} = (λ ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $λ =$ .

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15. 若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ 是 $[- 1 + a ， 2 a]$ 上的偶函数，则 $a + b$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = | s i n (ω x + \frac{π}{4}) | (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} + \sqrt[4]{\frac{81}{16}} - \sqrt{{(x - \frac{15}{4})}^{2}} + 3^{l o g_{3} 2}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{2^{x + 2}} - 1}$ ，集合 $B = {x | y = x + 1 ， x \in [- 4 ， 1]}$ .

(1)、求 $A ∪ B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | m - 1 < x < m + 1}$ ，且 $B ∩ C = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，在 $△ O A B$ 中， $G$ 为中线 $O M$ 上一点，且 $\vec{O G} = 2 \vec{G M}$ ，过点 $G$ 的直线与边 $O A$ ， $O B$ 分别交于点 $P$ ， $Q$ .

(1)、用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 表示 $\vec{O G}$ ；

(2)、设向量 $\vec{O A} = \frac{4}{3} \vec{O P}$ ， $\vec{O B} = n \vec{O Q}$ ，求 $n$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的两个相邻零点之间的距离为 $π$ .已知下列条件：①函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称②函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数.请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [\frac{π}{2} ， \frac{11 π}{12}]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $g (x_{1}) = g (x_{2}) = a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.（注：如果选择条件①，条件②分别解答，则按第一个解答计分）

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21. 2021年10月16日.神舟十三号载人飞船在长征二号 $F$ 遥十三运载火箭的托举下点火升空，创造了中国航天太空驻留时长的新纪录.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式 $v = v_{0} \cdot l n \frac{M}{m}$ ，可以计算理想状态下火箭的最大速度 $v (m / s)$ ，其中 $v_{0} (m / s)$ 是喷流相对速度， $m (k g)$ 是火箭（除推进剂外）的质量 $M (k g)$ 是推进剂与火箭质量的综合， $\frac{M}{m}$ 称为“总质比”，已知 $A$ 型火箭喷流相对速度为 $800 (m / s)$ .

(1)、当总质比为50时，求 $A$ 型火箭的最大速度（保留整数）；

(2)、经过材料更新和技术改进后， $A$ 型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{5}$ ，若要使火箭的最大速度至少增加 $800 (m / s)$ ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 5 \approx 1.609$ ， $e \approx 2.718$ ）.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、探究 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明；

(2)、判断方程 $[1 + f (x)] l o g_{2} f (x) = 2$ 是否存在实根？若存在，设此根为 $x_{0}$ ，请求出一个长度为 $\frac{1}{8}$ 的区间 $(a ， b)$ ，使 $x_{0} \in (a ， b)$ ；若不存在，请说明理由.（注：区间 $(a ， b)$ 的长度为 $b - a$ ）

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