四川省乐山市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A ∪ B =$ （）．

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${5 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. $c o s 780 ° =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知集合 $A = {x | 2 x - 3 < 3 x}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，有以下结论：① $- 3 \in A$ ；② $3 \notin B$ ；③ $B \subseteq A$ ．其中错误的是（）．

A、①③ B、②③ C、①② D、①②③

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4. $c o s 2 0^{∘} c o s 2 5^{∘} - c o s 7 0^{∘} s i n 2 5^{∘} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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5. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l n x + 2$ ，则 $f (- e) =$ （）．

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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6. 已知 $s i n θ = \frac{1}{3}$ ， $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）．

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输入带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加．现有一组境外输人病例数据：
x（月份）
1
2
3
4
5
y（人数）
97
159
198
235
261
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（）．

A、 $y = a x + b$ B、 $y = \frac{a}{x} + b$ C、 $y = a^{x} + b$ D、 $y = l o g_{a} x + b$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ， $g (x) = x$ ，如图所示，则图象对应的解析式可能是（）．

A、 $y = f (x) + g (x)$ B、 $y = f (x) - g (x)$ C、 $y = f (x) \cdot g (x)$ D、 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$

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9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (| φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）．

A、频率为 $\frac{1}{6}$ B、周期为6π C、振幅为2 D、初相为 $- \frac{π}{6}$

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10. 函数 $f (x) = - s i n^{2} x - c o s x$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）．

A、 $- \frac{5}{4}$ B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{4}$

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11. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ l o g_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $y = f (x) + a$ 恰有3个零点，则a的取值范围是（）．

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- 1 ， 0]$ C、 $[- 1 ， 0]$ D、 $[0 ， + ∞)$

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12. 已知正实数x，y，z，满足 $l o g_{2} x = l o g_{3} y = 4^{z}$ ，则（）．

A、 $y > x > z$ B、 $x > y > z$ C、 $z > y > x$ D、 $z > x > y$

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二、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(2, \sqrt{2}),$ 则 $f (4) =$ ．

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14. 角 $α$ 的终边经过点 $P (2 ， - 1)$ ，则 $3 s i n α + 2 c o s α$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{6})$ ，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数的解析式．

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = 2 - x^{2}$ ，若不等式 $f (2 x - a) > - 2$ 的解集是集合 ${x | 1 < x < 3}$ 的子集，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 计算求值：

(1)、 $(2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3}}) (- 3 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}) \div (6 a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{1}{6}})$

(2)、 $(l o g_{2} 3 + l o g_{4} 9) (l o g_{3} 2 - l o g_{9} 2)$

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18. 已知 $\frac{4 s i n α - 2 c o s α}{5 c o s α + 3 s i n α} = 1$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $s i n α c o s α - c o s^{2} α + 1$ 的值．

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19. 对于函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(2)、是否存在实数a使函数 $f (x)$ 为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n 2 ω x + \sqrt{3} c o s 2 ω x (ω > 0)$ ，该函数图象一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称轴和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的单调递增区间．

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21. 为推动治理交通拥堵、停车难等城市病，不断提升城市道路交通治理能力现代化水平，乐山市政府决定从2021年6月1日起实施“差别化停车收费”，收费标准讨论稿如下：A方案：首小时内3元，2-4小时为每小时1元(不足1小时按1小时计)，以后每半小时1元(不足半小时按半小时计)；单日最高收费不超过18元．B方案：每小时1.6元

(1)、分别求两个方案中，停车费y(元)与停车时间 $x (0 < x \leq 24)$ (小时)之间的函数关系式；

(2)、假如你的停车时间不超过4小时，方案A与方案B如何选择？并说明理由．
(定义：大于或等于实数x的最小整数称为x的向上取整部分，记作 $⌈ x ⌉ MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaabaabauaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaahmaabaGaamiEaaGa
ayP74laawMp+aaaa@4554@$ ，比如： $⌈ 2 ⌉ = 2 MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaabaabauaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaahmaabaGaaGOmaaGa
ayP74laawMp+aiabg2da9iaaikdaaaa@46D5@$ ， $⌈ 2.1 ⌉ = 3 MathType@MTEF@5@5@+=
feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbWexLMBbXgBd9gzLbvyNv2CaeHbl7mZLdGeaGqiVu0Je9sqqr
pepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs
0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaai
aabeqaamaabaabauaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaahmaabaGaaGOmaiaa
c6cacaaIXaaacaGLUJVaayz+4dGaeyypa0JaaG4maaaa@4843@$ )

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22. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - 2 \cdot 2^{x + 1} + a$ ，其中 $x \in [0 ， 3]$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最小值为1，求a的值；

(2)、若存在 $x \in [0 ， 3]$ ，使 $f (x) \geq 33$ 成立，求a的取值范围；

(3)、已知 $g (x) = m \cdot 2^{x}$ ，在（1）的条件下，若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求m的取值范围．

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x（月份）	1	2	3	4	5
y（人数）	97	159	198	235	261