四川省达州市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x ∣ 1 < x ⩽ 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 5]$ B、 $[2 ， 4]$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 下列函数中，与函数 $y = x$ 相等的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$ C、 $y = {(\sqrt[4]{x})}^{4}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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3. 已知角 $θ$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合， $s i n θ > 0$ ， $t a n θ < 0$ ，则角 $θ$ 为（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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4. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，角 $α$ 的终边上一点坐标为 $(3 ， - 4)$ ，则角 $α$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知 $a = l o g_{3} \frac{7}{2}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = l o g_{\frac{1}{3}} 6$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 已知2是函数 $f (x) = x^{n} - 8$ （ $n$ 为常数）的零点，且 $f (m) = 56$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-3 B、-4 C、4 D、3

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7. 函数 $y = \frac{4 l n | x |}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 点 $M (x ， y)$ 在函数 $y = 2 x + 4$ 的图象上，当 $x \in [2 ， 5]$ 时， $\frac{2 + y}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{3} ， \frac{8}{3}]$ B、 $[\frac{8}{3} ， \frac{10}{3}]$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{16}{3}]$ D、 $[\frac{5}{3} ， \frac{8}{3}]$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4})$ ， $g (x) = c o s (2 x + \frac{π}{4})$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到曲线 $y = g (x)$ B、曲线 $y = f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到曲线 $y = g (x)$ C、曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 关于 $y$ 轴对称 D、曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 关于 $x$ 轴对称

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10. 已知 $D$ ， $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 和 $A C$ 的中点，若 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b} + \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{a}$ C、 $2 \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{a}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{b} - 2 \vec{a}$

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11. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，且 $f (4) = 0$ ，则满足 $x f (x) ⩽ 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， 0) ∪ [4 ， + \infty)$ B、 $[- 4 ， 0] ∪ [4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4] ∪ (0 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 4]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x |} ， x ⩽ 2 ， \\ f (4 - x) ， x > 2 . \end{array}$ 若方程 $f (x) - a = 0$ 有四个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4}$ 的取值范围为（）

A、 $(20 ， 26)$ B、 $(24 ， 28)$ C、 $(28 ， 32)$ D、 $(30 ， 36)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $x =$ ．

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14. 已知在 $⊙ O$ 中，弧度数为 $\frac{π}{2}$ 的圆心角所对的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则这个圆心角所对弧的弧长是．

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15. 已知函数 $f (x) = 1 - s i n^{2} x + s i n x (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{2})$ ，当 $x =$ 时， $f (x)$ 取得最大值．

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16. 若对任意的 $x \in (0 ， 1]$ ，都有 $\frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} ⩾ m \cdot \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{0} + \sqrt{(3 - π)^{2}} + {(\frac{4}{3})}^{- 2} \times {(- 2 \frac{10}{27})}^{\frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $l g 8 + 3 l g 5 + {(\frac{1}{2})}^{l o g_{2} 3} - l n \sqrt[3]{e}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最大值为2，函数 $f (x)$ 的图象经过点 $C (0 ， 2)$ ，点 $C$ 与它相邻的一个最低点 $B$ 的距离为 $\sqrt{16 + π^{2}}$ ，如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = s i n^{2} x - f (x)$ ，当 $\frac{π}{3} ⩽ x ⩽ \frac{3 π}{2}$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} - 1}$ 为定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、 $g (x) = f (x) {(e^{x} - 1)}^{2} + x (x \in (0 ， + \infty))$ ，判断 $g (x)$ 的单调性，并用单调性定义证明．

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21. 已知 $s i n θ + c o s θ - \frac{1}{5} = 0$ ， $θ \in [0 ， π]$ ．

(1)、求 $s i n θ c o s θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{1 - 2 s i n (π - θ) s i n (\frac{π}{2} - θ)}{s i n^{2} θ - c o s^{2} θ}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 3 a) + l o g_{a} (x + a - 2)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a + 1 + \frac{\sqrt{5}}{4} \leq x \leq a + 1 + \sqrt{13}$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为 $2$ ，求实数 $a$ 的值．

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