四川省成都市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin \frac{2 π}{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (x ， - 4)$ ，且 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、±3 D、4

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4. 若 $x = l o g_{5} 0.3$ ， $y = 3^{0.3}$ ， $z = 0 . 3^{2}$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系是（）

A、 $y > z > x$ B、 $z > y > x$ C、 $z > x > y$ D、 $y > x > z$

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5. 已知一元二次方程 $x^{2} + m x + 1 = 0$ 的两个不等实根都在区间 $(0 ， 2)$ 内，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{5}{2} ， - 2] ∪ [2 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{5}{2} ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{5}{2} ， - 2]$ D、 $(- \frac{5}{2} ， - 2)$

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6. 函数 $f (x) = t a n (\frac{π}{2} x + \frac{π}{4})$ 的单调递增区间为（）

A、 $(4 k - \frac{1}{2} ， 4 k + \frac{1}{2})$ ， $k \in Z$ B、 $(4 k - \frac{3}{2} ， 4 k + \frac{1}{2})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k - \frac{3}{2} ， 2 k + \frac{1}{2})$ ， $k \in Z$ D、 $(2 k - \frac{1}{2} ， 2 k + \frac{1}{2})$ ， $k \in Z$

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7. 已知函数 $f (x) = l g x + 2 x - 5$ 的零点在区间 $(n - 1 ， n) (n \in N^{*})$ 内，则 $n =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 函数 $f (x) = l n (x + \sqrt{x^{2} + 1}) \cdot s i n x$ 的图象大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $c o s (\frac{5 π}{6} - θ) = - \frac{2}{3}$ ， $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $s i n (θ + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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10. 对于函数 $f (x)$ 定义域中任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ 时，总有① $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ；② $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 都成立，则满足条件的函数 $y = f (x)$ 可以是（）

A、 $y = 1 0^{x}$ B、 $y = l g x$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = c o s 2 x$

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11. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{0.5} x ， x > 0 ， \\ \frac{1 - x}{x} ， x < 0 . \end{array}$ 若任意给定的 $m \in (0 ， 2)$ ，都存在唯一的非零实数 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = - 2 a^{2} m^{2} + a m$ ，则正实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2)$

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二、多选题

12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .当 $f (x_{1}) = \frac{2}{f (x_{2})}$ 时， ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{2}$ ， $f (- \frac{π}{12}) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、函数 $y = f (x) + 1$ 的图象的一个对称中心为 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可以得到函数 $y = \sqrt{2} c o s 2 x$ 的图象

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = a^{x + 2} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(- 2 ， 3)$ ，则 $b =$ .

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14. 已知扇形的弧长为 $\frac{π}{3}$ ，半径为1，则扇形的面积为.

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15. 若偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $f (0) = - 1$ ， $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集是.

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16. 设函数 $f (x) = \sqrt{1 - c o s x} + \sqrt{1 + c o s x}$ .则函数 $f (x)$ 的值域为；若方程 $f (x) = \frac{9}{5}$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的四个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 2 x_{4} =$ .

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四、解答题

17. 计算下列式子的值：

(1)、 $2 l g 2 + l g 25 + 3^{l o g_{3} 2}$ ；

(2)、 ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 3)}^{0} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{2}{3})}^{2}$ .

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α (\frac{π}{2} < α < π)$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n α + 3 c o s (2 π - α)}{2 s i n (\frac{π}{2} - α) + c o s α}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{a x^{2} + 1}$ 是定义在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明.

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20. 人类已进入大数据时代.目前数据量已经从 $T B (1 T B = 1024 G B)$ 级别越升到 $P B (1 P B = 1024 T B)$ ， $E B (1 E B = 1024 P B)$ ，乃至 $Z B (1 Z B = 1024 E B)$ 级别.某数据公司根据以往数据，整理得到如下表格：
时间
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
$\cdot \cdot \cdot$
间隔年份 $x$ （单位：年）
0
1
2
3
4
$\cdot \cdot \cdot$
全球数据量 $y$ （单位： $Z B$ ）
0.5
0.75
1.125
1.6875
2.53125
$\cdot \cdot \cdot$
根据上述数据信息，经分析后发现函数模型 $f (x) = a \cdot b^{x}$ 能较好地描述2008年全球产生的数据量 $y$ （单位： $Z B$ ）与间隔年份 $x$ （单位：年）的关系.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、请估计2021年全球产生的数据量是2011年的多少倍（结果保留3位小数）？
参考数据： $\frac{81}{16} = 5.0625$ ， $\frac{243}{32} = 7.59375$ ， $\frac{729}{64} = 11.390625$ ， $5.062 5^{2} \approx 25.629$ ， $7.5937 5^{2} \approx 57.665$ ， $11.39062 5^{2} \approx 129.746$ .

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21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若存在 $x_{0} \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $\frac{k}{2} f (x - \frac{π}{3}) - 1 \geq c o s^{2} 2 x - k$ 成立，求实数 $k$ 的最小值.

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22. 我们知道，指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）与对数函数 $g (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）互为反函数.已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，其反函数为 $g (x)$ .

(1)、求函数 $F (x) = {[g (x)]}^{2} - 2 t g (x) + 3$ ， $x \in [2 ， 8]$ 的最小值；

(2)、对于函数 $φ (x)$ ，若定义域内存在实数 $x_{0}$ ，满足 $φ (- x_{0}) = - φ (x_{0})$ ，则称 $φ (x)$ 为“L函数”.已知函数 $h (x) = {\begin{array}{l} {[f (x)]}^{2} - 2 m f (x) - 3 ， x \geq - 1 ， \\ - 3 ， x < - 1 \end{array}$ 为其定义域上的“L函数”，求实数 $m$ 的取值范围.

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时间	2008年	2009年	2010年	2011年	2012年	$\cdot \cdot \cdot$
间隔年份 $x$ （单位：年）	0	1	2	3	4	$\cdot \cdot \cdot$
全球数据量 $y$ （单位： $Z B$ ）	0.5	0.75	1.125	1.6875	2.53125	$\cdot \cdot \cdot$