上海市杨浦区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-07-25 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知全集为R，集合 $A = (1 ， + \infty)$ ，则 $\bar{A} =$ .

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2. 函数 $y = \frac{2}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域是．

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3. 集合{1，2，3}的子集个数为．

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4. 已知 $a = l g 5$ ，用a表示 $l g 20$ =.

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5. 不等式 $3^{3 - x} > 9^{x}$ 的解集是.

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6. 命题“若 $x > 1$ ，则 $x \geq 1$ ”是命题（填“真”或“假”其中一个）.

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7. 里氏震级 $M$ 的计算公式为： $M = l g A - l g A_{0}$ _，其中 $A$ 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， $A_{0}$ 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级.

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8. 已知方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的两个根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为.

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9. 已知 $a \in$ R、 $b \in$ R，函数 $y = x^{2} + (2 - a) x - 3 ， x \in [1 - b ， a]$ 是偶函数，则 $a + b$ =.

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10. 函数 $y = \frac{1}{2 - x^{2}}$ 的值域是.

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11. 已知 $m \in$ R，“不等式 $| x - m | + | x + 5 | \geq 6$ 对任意 $x \in$ R恒成立”的一个充分非必要条件是.

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12. 设a为实数，若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + a > 0 \\ 3 x - 6 a < 0 \end{array}$ 的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是.

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二、单选题

13. 设 $a > 0$ ，下列计算中正确的是（）

A、 $a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{4}{3}} = a$ B、 $a^{\frac{3}{4}} \div a^{\frac{4}{3}} = a$ C、 ${(a^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = a$ D、 ${(a^{\frac{3}{4}})}^{- \frac{4}{3}} = a$

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14. 若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a + b < 0$ C、 $a b > 0$ D、 $a b < 0$

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15. 若 $l o g_{\frac{1}{2}} (4 - x^{2}) > l o g_{\frac{1}{2}} (2 x + 1)$ ，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $1 < x < 2$ B、 $x < - 3$ 或 $x > 1$ C、 $- 2 < x < 2$ D、 $- \frac{1}{2} < x < 2$

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq a \\ - x ， x < a \end{array}$ 若函数 $f (x)$ 存在零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 3 \leq x < 7}$ ， $B = {x | 1 < x < 6}$ ．求 $\bar{A ∩ B}$ ， $\bar{A} ∪ B$ ．

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18. 解下列不等式

(1)、 $\frac{5 - x}{x + 3} > 0$

(2)、 $| 1 - 3 x | > 2 x$

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19. 证明：函数 $y = l g (1 - 2 x)$ 在其定义域上是严格减函数．

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20. 小明将上周每天骑车上学路上的情况用图象表示：

很遗憾图象的先后次序不小心被打乱了.

还好小明同时用文字进行了记录：

周一：匀速骑车前进；

周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；

周三：骑车出门晚了，越骑越快；

周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；

周五：……

(1)、请将图象的编号填入表格中对应日期的下方，

日期

周一

周二

周三

周四

周五

图像编号

并描述周五小明上学途中可能发生的情况，填在下面的空格中；

周五：______

(2)、本周小明打算跑步上学，多消耗点热量. 已知单位时间消耗的热量y（卡/小时）与跑步的平均速度v（千米/小时）满足函数 $y = - \frac{50}{3} v^{2} + 350 v - \frac{3200}{3}$ ，小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗最多热量？

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21. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在区间 $[a ， b] \subseteq D$ 使得函数 $y = f (x)$ 满足：
①函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上是严格增函数或严格减函数；
②函数 $y = f (x)$ ， $x \in [a ， b]$ 的值域是 $[n a ， n b]$ $(n \in Z 且 n \geq 2)$ ，
则称区间 $[a ， b]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“n倍区间”.

(1)、判断下列函数是否存在“2倍区间”（不需要说明理由）；
① $y = 1 - x$ ； ② $y = x^{2} + \frac{1}{2}$ ；

(2)、证明：函数 $y = x^{- 2}$ 不存在“n倍区间”；

(3)、证明：当有理数 $m$ 满足 $m \in (0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$ 时，对于任意n $(n \in Z 且 n \geq 2)$ ，函数 $y = x^{m}$ 都存在“n倍区间”，并求函数 $y = x^{3}$ 和 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 所有的“10倍区间”.

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日期	周一	周二	周三	周四	周五
图像编号